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第六章 数列第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一部分五年高考体题荟萃2 0 0 9 年高考题-、选择题1.(2 0 0 9 年广东卷文)已知等比数列%的公比为正数，且码=？4；，a2=l,则q =A.-B.-C./2 D.22 2【答案】B【解析】设公比为q,由已知得产=2(%/丫，即/=2,又因为等比数列%的公比为正数，所以q=，故=1=注，选 Bq也22.(2 0 0 9 安徽卷文)已知公)为等差数列，%=1 5%+,=,则 等于A.-1 B.1 C.3 1).7【解析】at+4 +“s =1 0 5 即 3 a 3 =1 0 5 a,=3 5 同理可得%=3 3 .*.公差=a4 a,=-2a20=a4+(2 0 4)x 2,an-Sn-S,i=kn2+n-k(n -1)2+(n-1)=2 k n-k +1 (*)经验，=1,(*)式成立，an-2kn-k +1(H)y M成等比数列，,a2m2=am.a4m,即（4Z机一%+1）2 =（2攵用一人+1）（8人加一人+1）,整理得：机k（左 一 1）=0,对任意的”N*成立，:.k=0或k=117.（2009北京文）设数列 4 的通项公式为a“=p+q（eN*,P 0）.数 列 出 定义如下：对于正整数m,0是使得不等式an m成立的所有n中的最小值.（I）若 p =；,q =一；,求（II）若p=2,q=1,求数列色J的前2必项和公式；（III）是否存在0和g,使得0 =3机+2（m eN*）?如果存在，求o和g的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】木题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.解（I）由题意，Wn n,解一 3,得 N .2 3 2 3 3 3成立的所有n中的最小整数为7,即4 =7.（H）由题意,得”“=2一1,对于正整数，由4 2加，得2卡.根据以的定义可知当机=2攵一1 时，=k k N*）；当加=2%时，b m=k +（k e N*）.:,b+b?+%,=（4+4+82 1）+他 +仇+%）=（1 +2+3+m）+2+3+4+（优+1）2（加+1）机（机+3）=-H-=m +2 m.2 2（III）假设存在。

和g满足条件，由 不 等 式+及p0得 工P bm=3机+2（mG N*）,根据超的定义可知，对于任意的正整数m都有个 1 m-q/个3m+1 -3 m+2,P即一2p q （3p 1）加 0 (或3 p l 0)时，得(或用4一女士幺),3 p-l 3 p-l这与上述结论矛盾！1 2 1 2 1当3一1 =0,即 =时，得-q 0 -q,解得 7 .3 3 3 3 3存在p和q,使 得 粼=3 m+2(m N*)；1 2 1夕和的取值范围分别是p =,-q 0且b W 1也r均为常数)的图像上.(1)求r的值；7 +1(1 1)当b=2时，记b =(e N+)求数列也,的前项和7；4 a解:因为对任意的 e N+,点(,S,)，均在函数y =b +b0且b /均为常数)的图像上.所以得S“=6 +r,当=1 时，q=S =+r,当”2 2 时，an=S“一 S,T=V+r (/+r)=/N T =(6 I)/”,又因为 4为等比数列，所以厂=1,公比为b,所以a“=3 1)/7(2)当 b=2 时，4=$1附1=2 T ,7+1 +1 +1b _ _ _ 一 4an _ 4 x 2 _,_ 2n+,2 3 4则小+王+1,4-2-的-2 3 4 n石+吩+西+10+2相减，得9=舁呆*导+击X r i _ _ L、1 2,X(2 T)n +l _ 3 1 +1 +12 +2所以7；3 1 +1 3 +32 2”2,+,2 2向【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式,以及已知S“求。

的基本题型，并运用错位相减法求出噂比数列与噂差数列对应项乘积所得新数列的前八项和7”.1 9.(2 0 0 9全国卷I I文)已知等差数列 a 中，%的 =-1 6,%+以=，求 4前n项和s“解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解解：设%的公差为d,则(%+2 d)(q+6 4)=-1 6%+3 d +4 +5 d =0即4；+8血+1 2，=-1 6q=-4 d解得Z或%=8d =-2因此Sn=-8 n +=H(H-9),或S =8 一-1)=一 (一9)2 0.(2 0 0 9安徽卷文)已知数列.的 前n项和4=幻 +方*,数列&的 前n项和(I)求数列 与 4 的通项公式；(H)设证明：当且仅当n 2 3时，】7a,(n=1)【思路】由4=1 I 可 求 出 和我，这是数列中求通项的常用方法之一，在k-Vi(2 2)求出明和，后，进而得到C“，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法解析】(1)由于q =即=4当 2 2 时，an=s“-s,i =(2n2+2)-2(-i f+2(-1)=4n am=4 n(/i e N*)又当 x N 时a=7；%(2-6,“)(2%)2bn=%数歹i J 项与等比数歹i j,其首项为1,公比为1 b =(g)i 由 知。

1 6 2.C-1 6(+l)*)e(+了由IL 1得(+l)1 +8即”2 3C“2 又“2 3时（+?2 1成 立 即Q L 0恒成立.2/C.因此,当且仅当 2 3时，CM “=(klj d瓦 +(k2-l2)d b,q +-+(kn-ln)d biqt t-1因为d w 0,w 0,所以,2=L)+(七一，2)q+(k“一，)q T他若k,产1“,取 i=n,若,=/“，取 i 满足且为=小 i +1 4 j4 由(1)(2)及题设知，l i n,且-2=(1 一/1)+(&2 _，2)4 +氏abt 当仁 4 时，加k W 1,由 q 之，k,k V q l,i =1,2 1即匕U 1,(k2-l2)q q(q 1),化时 0,.,.d=2,代 入 得 a1=1/.an=1 +(-1)2=2-1 令 C=与，则有4 =J+C 2+C，4M=j+C 2+.+*an+an =c“+”由(1)得4=l,an+-an=2两式 相减得.+=2,c“=2(2 2),即当“2 2时,a=2 向 又 当 n=l时，=2%=2.2,(=1)bn=,|2,+|(/72)于是 5=+&2+&3.+,=2+23+24+.+2,+1=2+.+2 口罩”-4 =2n+2-6,gP5=2,1+2-627.（2009福建卷文）等比数列 4 中，已知q=2,4 =16（I）求数列 q 的通项公式；（II）若%,%分别为等差数列也,的第3 项和第5 项，试求数列也,的通项公式及前项和S“。

解：（D设%的公比为g由已知得16=2/,解得g=2b,+2d-8设也J 的公差为d,则有”解得A+4d=32(I I)由(I)得a,=8,%=32,则4=8,b5 32b=-16d=12从而a=一16+12（-1）=12-28所以数列也,的前项和5=（T6 -2 8）=6/_2228（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（I）问 3 分，（H）问4 分，（HI）问 5 分）已知2 =44+2=4也=-,nw N*.a（I ）求仇,4也 的值;(n)设C.=6也T，S,为数列%的前项和，求证：S,1 7 ；(I H)求证：b2-b 4于是J =仇 也=1 7,c“=b也+=4 +1 1 7 (2 2)所以 S =q +Q+2 1 7 i 1 7(i n)当 =i时，结论快一成立当2 2 时，有 切=1 4 +3-4-41=1 仁总*%bhn-1 W|bn-bn_|W+I%一 瓦 一2 辰W I bi -b 224.(2008江西卷)数列 a“为等差数列，a“为正整数，其前项和为S“，数列也,为等比数列，且 =3,4=1,数列也,是公比为64的等比数列，4$2=64.求a“也；，、1 1 1 3(2)求证-1-1-1-.S 52 S,4解：(1)设 凡 的公差为d,的公比为q,则d为正整数，a,=3 +(T)d，b“=q Tb ni+n d依题意有I ba/+(T q S h2-6+d)q -64由(6+d)q =64知q为正有理数,故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d =2,q =8故勺=3 +2(1)=2 n +1 也=8|(2)S=3 +5H-F(2/1 +1)=n(n+2)1 1 1 1-1-1-H-=-F5 52 Sn 1 x 31 1-1-2 x 4 3 x 51n(n +2)+1 .1 1 1 1 1 1 1.二1 1 1-1-!-+-)2 3 2 4 3 5 n n+21 八 1 1 1 、3=-(1 +-)-2 2 +1 n+2 42 5.（2 0 0 8湖北）.已知数列也,和 4满足：2=2,+-4也=（一1）（”“-3 +2 1）,其中2为实数，为正整数.（I ）对任意实数4,证明数列%不是等比数列；（I I）试判断数列 ,是否为等比数列，并证明你的结论；（I I I）设0。

乩S,为数列 的前项和.是否存在实数4,使得对任意正整数w,都有a S.匕？若存在，求几的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满 分1 4分）(I )证明：假设存在一个实数入，使 a是等比数列，则有捻=a 画 即2 4 4 4(-Z-3)2=A(-/l-4)-/l2-4/1 +9=-22 4 2 =9=0,矛盾.所 以&不是等比数列.2(I I)解:因为加尸(一1)一&H-3(h l)+2 1 =(-1 严(-&-2 加 1 4)322=(T)(a 厂 3 加2 1)=-bn3 3又 b、x-(+1 8),所以当入=-18,二 0(),此 时 4不是等比数列：当入 1 8 时 ，6尸(入+W 0,由上可知勿W0,二姐=一2(G N).b 32故当入#-1 8 时，数 列 4是 以 一(A+1 8)为首项，一士为公比的等比数歹U.3(I I I)由(I I )知，当入=-1 8,4=0,=0,不满足题目要求.2X W-1 8,故知 b,r-(X+1 8)(-)于是可得3&=-|(2 +1 8)-1-(-|)”.要使水S,6 对任意正整数成立，3 2即水-(入+1 8)1 ()(b(n N)5 3得.-一|(丸+1 8)-5 1-(-)_3 3 和()=1 一(二)，则当 为正奇数时，1当 为 正 偶 数 时/()1,./()的最大值为/1(1)=*,f()的最小值为A2)=3 9于是，由式得己5 a-3 (入+1 8),3三匕。

一 1 8 丸一3一 1 8.9 5 5当水，寸，由一Z?1 8 2 =-3 年1 8,不存在实数满足题目要求；当力3 d 存在实数入，使得对任意正整数,都有水S27.（2005福建）已知%是公比为q的等比数列，且%成等差数列1（I）求q的值；（H）设 是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S.,当n22时，比较S”与b”的大小，并说明理由.解:(I)由题设2%=%+出，即2 1/=q,v a 0,/.2q2-1 =0.q=.2(II)若q=1,则S“=2 +(；D 1 =-丁“彳 2时,S -bn=S,-=(Tg ，2)0 故s”hn若q=，则S,=2 +笔2；)=三也当“2 2时,S“a=S,i=If故对于wN+，当2 4 49时,5“6”;当=10时,5“=2;当 2 11时,S“,.第二部分三年联考题汇编2009年联考题一、选择题L （北京市朝阳区2009 年 4月高三一模理）各项均不为零的等差数列%中，若一%一6+1=（w N*,N2），则$2009 等于（）A.0 B.2 C.2009 D.4 018答 案 D2.（北京市西城区2009 年 4月高三一模抽样测试理）若数列 4 是公比为4。