[理学]常微分方程第一章.ppt

第一章 引论 一．[内容简介]本节结合常微分方程的实例，讲解与常微分方程有 关的一些基本概念和术语.二．[关键词]常微分方程，微分方程的通解，初始条件，特解三．[目的与要求]1．正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性 微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初 始值问题和特解等基本概念.2．了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联 系，了解常微分方程讨论的基本问题.§1.1微分方程的概念和实例 一、背景n函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系， 寻求函数关系在实践中具有重要意义许多实际问题，往 往不能直接找出需要的函数关系，却比较容易列出表示未 知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式．这样 的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿的信 中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才 成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、 了解和知晓现实世界的重要工具．1846年,数学家与天文 学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星—­­ —­­ 海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰 满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分 方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例 还有很多．在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼 兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出 了卓越的贡献．二、案例n案例1：死亡年代的测定n遗体死亡之后，体内碳14的含量就不断减少 ，已知碳14的衰变速度与当时体内碳14的含 量成正比，试建立任意时刻遗体内碳14含量 应满足的方程。

解设 时刻遗体内碳的含量为,根据题意有常数 等式右端的负号是由于随时间 的增加而减少．二、案例n案例2：自由落体运动n一个质量为m的质点，在重力作用下自由下 落，求其运动方程三、微分方程的概念 代数方程————含有一个变元的关系式，即由已知数含有一个变元的关系式，即由已知数 这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方 程说起程说起. .在代数中我们研究过求解高次代数方程在代数中我们研究过求解高次代数方程 与未知数与未知数x x组成的等式，运算有：组成的等式，运算有： 乘方，乘方，… …… …，它的，它的 解是数解是数. .由代数基本定理知道，它的解只有有限个由代数基本定理知道，它的解只有有限个. . 在数学分析中也研究过由隐式在数学分析中也研究过由隐式 确定的隐函数确定的隐函数 的问题的问题. . 函数方程————至少含有两个变元的关系式，即由自变量至少含有两个变元的关系式，即由自变量x x和函数和函数 y y组成的等式组成的等式. .运算有运算有 函数运算，函数运算，… ….… ….它的解是函数它的解是函数. . 由隐函数存在唯一性定理知，解为有限由隐函数存在唯一性定理知，解为有限. .定义1：所谓微分方程，就是一个或几个包 含自变量、未知函数以及未知函数的微 商(或微分)的方程.只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于 一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例(1.1)—(1.6)都 是常微分方程，(1.7)是偏微分方程.方程中所含未知函数的 最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如，(1.1)，(1.2)， (1.3)，(1.4)，(1.7)是一阶方程，(1.5)和(1.6)是二阶方程. 一般 阶常微分方程具有形式或者是显式1．微分方程的线性与非线性 ⅰⅰi) i)线性微分方程线性微分方程 如果如果(1.8)(1.8)式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是 一次的有理整式，则称一次的有理整式，则称(1.8)(1.8)为为n n阶线性常微分方程阶线性常微分方程. . ⅱⅱii)ii)非线性微分方程非线性微分方程 不是线性微分方程的，称为非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程. .阶线性常微分方程的一般形式是阶线性常微分方程的一般形式是其中其中 都是已知的实值连续函数都是已知的实值连续函数. . 在上例中，在上例中，(1.1)(1.1)，，(1.2)(1.2)，，(1.3)(1.3)，，(1.6)(1.6)，，(1.7)(1.7)是线性的是线性的 ，，(1.4)(1.4)，，(1.5)(1.5)是非线性的是非线性的. . 四、微分方程的有关概念 2．微分方程的解微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间 . 定义2 设函数 在区间 上连续，且有直到 阶导 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 后 ，使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即则称函数 为方程(1.8)在区间 上的一个解. 以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解 的直到 阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当 函数 在区间 内具有直到n 阶连续微商时，常简 记为 ，或者 . 表示 在区间I 内连续. 例1 求微分方程 的解，其中 解解 在数学分析中就是求函数在数学分析中就是求函数 的原函数的原函数 ，故只需要在上式两，故只需要在上式两 端关于自变量端关于自变量x积分，便得到积分，便得到这里这里 是任意常数，显然不论是任意常数，显然不论 取任何值，上式都是方程的解取任何值，上式都是方程的解. . 从这里可以看出：一个常微分方程可以从这里可以看出：一个常微分方程可以 有无穷多个解有无穷多个解. .给给 一个确定的值，一个确定的值， 就得到方程的一个解就得到方程的一个解. . 3．通解和特解 因为方程 的任一确定的解，必有(1.11)的形式(但其中的 取特定的值),故(1.11)称为此方程的通解，当 取确定数 值时所得到的解称为此方程的一个特解.一般地，我们有：定义3 设 阶微分方程(1.8)的解 包含 个 独立的常数 ，则称它为 阶微分方程(1.8)的通解； 若(1.8)的解 不包含任意常数，则称它为特解. 从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解，它是 解的一般表达式，但有例子可以说明，通解不一定是方程的全 部解. 这里称这里称 个任意常数个任意常数 是独立的，其含意是是独立的，其含意是 关于关于 的雅可比的雅可比( (TacobiTacobi) )行列式行列式. .显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解. .如例如例1 1中，当中，当 时，时， 这里取这里取 ，则，则有特解有特解. .我们把我们把 称为附加条件称为附加条件. .可见确定一个可见确定一个特定的解一般是要附加条件的特定的解一般是要附加条件的. .4．初值条件、初值问题 例例2 2 在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律. . 设落体的运动只在重力作用下进行，不考虑空气阻力等其他外力的作用，此设落体的运动只在重力作用下进行，不考虑空气阻力等其他外力的作用，此 时落体作垂直于地面的自由落体运动时落体作垂直于地面的自由落体运动. . 取坐标取坐标 y 轴从地面垂直向上，问题是：落体轴从地面垂直向上，问题是：落体B B的位置坐标的位置坐标 如何随时如何随时 间间 t 变化？变化？ 在运动过程中，落体只受重力在运动过程中，落体只受重力F 的作用，设落体的质量是的作用，设落体的质量是 m ，则，则 ，， 其中其中 g 是重力加速度，这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与是重力加速度，这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与 y 轴轴 的正方向相反的正方向相反. . 因为因为 表示表示B B的位置坐标，所以它对的位置坐标，所以它对 t 的一阶导数的一阶导数 表示表示B B的的 瞬时速度瞬时速度 ；而二阶导数；而二阶导数 则表示则表示B B的瞬时加速度的瞬时加速度 . . 由牛顿第二运动定律，有由牛顿第二运动定律，有 ，故得，故得 ，， 这样可得一个微分方程这样可得一个微分方程(1.12) 为了得出落体的运动规律，需要求解这个微分方程为了得出落体的运动规律，需要求解这个微分方程. . 在(1.12)两侧对 t 积分一次，得(1.13) 其中 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得(1.14)其中 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件：， (1.15)将条件(1.15)分别代入(1.13)和(1.14)，可得 ， . 这样，在初值条件(1.15)下，从微分方程(1.12)唯一地确定了一个解(1.16)它就描述了具有初始高度 和初始速度 的自由落体运动.称(1.16)是初值问题(1.17) 的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方程 的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因 此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 阶微分方程的解 应该包含 个任意常数. 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来 ，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 阶微分方程的初值问题的提法是：(1.18) 于是n阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：(1.19) 求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解，再利用初值条件定出通解 中的任意常数，从而得出要求的特解. 最后我们指出：一个 阶微分方程的通解应该包含 个独立的任 意常数；反之，对于一个包含 个独立的参数 。