新整系数多项式的有理根定理及求解方法.docx

新）整系数多项式的有理根定理及求解方法8TT^E60 SB壬储亦劭翎鲫勾翎■邀翎 ：祜79 li醴霸amzas 删wmt^a^sPVPLIO書葉&耳直(44血口亦古劉諏磅¥WI4旱年级 & 班别：教师 & 职称：2009级1班张洪刚2012年 9 月 1日摘 要：整系数多项式在多项式的研究中占 有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认 识本文是关于整系数多项式有理根的求解的一 个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋 友提供一定的参考本文根据相关文献资料，给 出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式f (x)是否存在有理根若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理 根求出为了简化求解过程，可以先运用本文中 的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小， 然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多 项式f (x)的全部有理根关键词：整系数多项式；有理根的求法； 有理Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots. Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章 整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理一一高斯(Gauss)引理。

定 义 1[1]如果一个多 项式 f (x) 二 a xn + a xn-i +... + ax + a ， 其所有系数n n-1 1 0a , a , a 都是整数，就称此多项式为整系数多项式0 1 n定义2如果一个非零的整系数多项式g(x)二b xn + b xn-i +…+ b的系数n n -1 0b ,b，…,b没有异于土 1的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本n n -i 0原多项式下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础 定理1.1(高斯引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式 证明 设f (x)二 a xn + a xn-i +... + a x + an n-1 1 0g (x)二 b xm + b xm-1 h f bm m-1 0是两个本原多项式，而h(x)二 f (x)g (x)二 d xnfm fd x n f m -1 + —f d h(x) 不是本原的，也就是说，nfm nfm-1 0h(x)的系数d ,d ，— ,d有一异于土 1的公因子，那么就有一个素数p能整除n f m n f m-1 0h(x)的每一个系数•因为f (x)的本原的，所以p不能同时整除f (x)的每一个系 数•令a是第一个不能被p整除的系数，即p I a，— , p I a , p / a・i 0 i -1 i同样地，g(x)也是本原的，令b是第一个不能被p整除的系数，即jp I b , —, p I b , p I/ b0 j -1 j我们来看h(x)的系数d ，由乘积定义i f jd = a b + a b + a b + —f a b + a b + …if j i j i f1 j -1 if2 j -2 i-1 j f1 i -2 j f2由上面的假设，p整除等式左端的d ，p整除右端a b •这是不可能的•这就证i f j i j明了，h(x) 一定也是本原多项式•由此我们可以得到下面的定理及推论定理1.2如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项 式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论 设f (x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的•如果f (x) = g(x) h(x)，其中h(x)是有理系数多项式，那么h(x) 一定是整系数的.第二章 整系数多项式有理根的重要定理在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：定理 2.1[1设]走f(x)= axn + a xn-1 +... + ax + a是一个整系数多项n n-1 1 0式，而|是f(x)的一个有理根，其中r,s互素，那么必有s I a , r I a •特别地，如果f (x)的首项系数J ,那么n0f(x)的有理根都是整根，而且是a的因子。

0证明：因为|是f (x)的一个有理根，因此在有理数领域上&-知f (x)，从而(sx_r)|f(劝，因为r,s互素，所以 是一个本原多项式•根据上述推论，Sx rf (x)二(sx - r)(b xn-1 +... + b )，式中 b，…,b 都是整数•令n-1 0 n-1 0g (x)二b xn-i +... + b ，比较两边系数，即得a = sb , a = -rb因此n-1 0 n n-1 0 0.S I a , r I a将 x = 1,-1 代入上式得 f (1) = (s 一 r)g (1), f (-1) = -(s + r)g (-1) n0由定理 2.1 的证明过程可得如下定理：定理 2.2 若 f (x) ■ a x + a 是一个次数n大于0的整系数多n n-1 1 0项式，如果q是f (x)的一个有理根，其中p,q是互素的整数，那么 pf (1) 口 f(T)W Z, _且 W Z・p—q p + q定理2.3若q为整系数多项式f (x)的整数根，则q为常数项a0的约数,且对于m w z (m 丰 q), q 一 m | f (m).证明：因为q是整系数多项式f (x)的整数根，所以f (x)=(x-q)g (x),其中g (x)是整系数多项式.Vm w z, m 丰 q，则有f (m)=-(q-m)g (m).又m g z，故 g (m)e z，所以 q-m | f (m).当m二0时，q | f(0)•因为f(0)是常数项，故q为常数项a的约数，所以 0q | f (0).定理 2.4 若整系数多项式 f (x) =a xn + a xn-i +... + a x + a 的常数项a为奇数, n n-1 1 0 0而2 p + q为偶数，则纟不是f (x)的有理根.p证明：(反证法)设纟是f (x)的有理根，则(p,q)= 1,pf (x)=(px- q)h (x),其中h (x)是整系数多项式,于是有 a xn+a xn-1+...+ax+a =(px-q)h(x)n n-1 1 0=-(2p + q) (-2》t b +... + (-2)b + b' 1 0 -设 h (x ) = b xn-1 +...+bx+b ，令x = -2，则有 n-1 1 0n-1(-2)n a +(-2)n-1 a +...+(-2)a +an n -1 1 0又因为a是奇数，2p + q是偶数•在上式中，等号左边是奇数，等号右边是偶数,0矛盾•故假设不成立.所以纟不是f (x)的有理根.p定理2.5 (关于整根的牛顿法)⑵如果 d 是整系数方程 f (x) = a xn + a xn-1 +...+ a x + a0 1 n -1 n 0a aI 1 I I n ,1 d d n -1a a a整根,那么d能够整除a n，an-1 + 了，an-2 + +仏'…'厂=0,那么d是f (x) = 0的根. dn并且a +—^ +... + n = 0 .反之，如果a0 d d n 0由以上定理可得下面推论：推论 整系数多项式 f (x) =a xn +a xn-1 +...+ a x+a ，当d =纟(p, q互素)是 n n -1 1 0 p有理数时，若a + +... +当一+字=0，则d是f (x)的根.n d d n -1 d n证明：因为a + an-i +... +丄+厶二0,n d dn-1 dn在上式两边同时乘以dn ,则有 a dn + a dn-i +... + a d + a = 0 即n n-1 1 0f (d) = a dn + a dn-i +... + a d + a 二n n -1 1 0第三章整系数多项式有理根的求法3・1整系数多项式有理根的判定［7］存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证 ,但当常 数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很 难实现的・如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积 后再作判断・这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是 一件容易的事情・所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还 是从系数开始。

整系数多项式无有理根的判别法：定理［1(Eisenstein 判别法)：设 f (x) = a xn + a xn-i + ... + a x + a 是一个整系n n - i i 0数多项式如果有一个素数 p ，使得1、 P 丫 a ；n2、 p I a ,a ，…，an -i n - 2 03、 p 2 丫 a .0那么f (x)在有理数域上是不可约的.证明 如果f (x)在有理数域上可约，那么由定理2.2, f (x)可以分解成两个次 数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=(b xi + b xi-i + + b )(c xm + c xm-i + + c ) (l, m < n, l + m = n).l l -i 0 m m -i 0。