微积分课件：ch3_3 不定积分的分部积分法.ppt

第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法本节要点本节要点 本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重要积分公式要积分公式——分部积分公式分部积分公式 设函数设函数 具有连续的导函数具有连续的导函数, 则由则由乘乘移项后移项后, 两边积分得两边积分得:分部积分公式分部积分公式⑴⑴积的导数公式积的导数公式, 有有 上式即称为不定积分的上式即称为不定积分的分部积分公式分部积分公式.注注1 分部积分法的关键是如何选择好分部积分法的关键是如何选择好 使得使得2一般地一般地, 可按反（三角函数）可按反（三角函数）, 对（数函数）三（角对（数函数）三（角比比 容易求得容易求得.函数）函数）, 指（数函数）的顺序来选择指（数函数）的顺序来选择 常见积分及相应规则如下常见积分及相应规则如下:将指数函数或三角函数视为将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导交换后对幂函数求导;将幂函数视为将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导交换后对对数函数或反三角函数求导.例例1 求积分求积分解解 取取则则 注意到注意到, 若选择错误的话若选择错误的话, 则积分后为则积分后为:此时经过分部积分后此时经过分部积分后, 积分表达式比原积分式更为复杂积分表达式比原积分式更为复杂,此说明前面的选择错误此说明前面的选择错误. 思考思考: 问题的原因是什么问题的原因是什么?例例2 求积分求积分 解解注注 一般还可用下面方法求一般还可用下面方法求 其中（其中（ 设设 其中其中 为待定为待定系数的与系数的与 同次多项式同次多项式, 在在两边求导，得两边求导，得比较系数即得比较系数即得即即:为多项式）形式的不定积分为多项式）形式的不定积分:例例3 求积分求积分解解  注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.例例4 求积分求积分 及积分及积分解解 换元换元分部分部例例5 求积分求积分解解 例例6 求积分求积分解解 例例7 求积分求积分解解 而而代入到上面的积分代入到上面的积分, 有有例例8 求积分求积分解解 将将等式右端的积分式移到等式的左边等式右端的积分式移到等式的左边, 即得即得用用此方法此方法, 还可求出形如还可求出形如的积分的积分.例例9 求积分求积分解解 例例10 求积分求积分解解 移项后得移项后得: 在在求求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分例例11 求积分求积分解解 作代换作代换 则，则， 例例11说明在不定积分的计算过程中说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积换元法与分部积法法.分法同时在使用分法同时在使用.例例12 求积分求积分解解 令令则原积分为则原积分为例例13 求积分求积分解解 。