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99研究生计算方法试题（A卷）姓名 班级 一、填空题：（每小题4分）1. 设P=3.14159是兀的近似值，则该近似值具有—位有效数字；绝对谋差限为相对误差限为 •2 •设贝0求解方程Ax=b的Gauss-SeidelB.J为严格对角占优阵D.A的谱半径小于1F.J的列范数小于14.对矩阵-14 6-3 14 241 0 12作LU分解，则L二；U=迭代法的迭代公式是 o3. 用Jacobi迭代公式xk+1二Jxk求解方程Ax=b,对于以下几种情 况，一定收敛的是：_A. A为严格对角占优阵C.A为对称正定阵E.J的谱半径小于1、、、5. 目Newton迭代求卩⑴=才—兀一 的零点x=・l的近似值，若取x0 = -0.9 ,则 £ = o6.为了计算积分£/ (x)dxi I Hn=hXf[a + (i^-)h]\ /=o 2 |的近似值，对积分区间n等分，h为复化中短形公式，边 为复化梯形公式，叵为步长减半后的复化梯形公式,b- a为步长,h [s” 飞[/⑷+ 2弘 + (, +列)+ 2口(5) + 〃)]为复化 Simpson 公式,/=()则|S”,7；和£所满足的关系为—7.设|心）wC4［0,l||,则求积公式0“⑴心扣（0） + /（1）］ +右［广（0）一广⑴］的余项为8•设兀0叭，…忑 为［a,b］上n+1个互异的节点,厶⑴是拉格 朗日插值基函1 99.已知y = -ax2 +bx是初始问题y'= ax + by(0) = o的精确解，/?为步长，同 是由梯形公式求解上述问题在£ = nh的近似值，则局部截断误差10. 设u = g（2,2,l）T,H = I-2uut9其中/为单位阵，则矩阵H的谱半径 是 二、设斤为［0,1」区间的等分数，分别取zl,n=2和心4用复化梯形公式计算I的近似值空型L 并用Romberg方法进行加速。

戢终结果保超5位小数） （15分） 三、设fM eC2［a,h］证明:若加丿=/W=0,则:一-般地，有：12噪厂（恥a打⑴ dx-扣(b) + .f(a)]@-G)(15 分)四、给出下表的数据，1） 用最小二乘法求一个形如|y = a +分2|的经验公式；2） 对任意多个点的拟合问题，应如何合理地定义拟合的均方 误差？ii2345X』4438312519yi97.873.349.032.319.0（15 分）五、已知I” = （2,5,2,2,1,几求一个初等反射阵H,使得： 皿匸（2,5,・3,0,0丿（15 分）00研究生计算方法试卷A(20 分) 设了1 3 4、< 20、A=3 1 2b=-7<4 2 1 丿<_18>ill1 3J（ii） = —（Au,u） 一 （b.u） u g R21） 给出丿（U）在中的点/取得极值的必要条件2） 用数值方法求解1）中的u3） 求正交阵H,使弘H为三对角阵4） 求 WHAH II】和 WHAH I.5） 写出求解Ax = h的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的格式 二、（15 分）1） 试证Jy'= /（兀）,° < x ，（/?）的近似值儿4） 计算误差y（h） - （保留六位小数） 三、（15分）（1 1）已知人= 的两个特征值为入=1,儿=2,对应的特征向量分别为W 2丿 -匕=（1,0）丁与“2=（1,1）丁，取初始向量X（）= Vj + v2.作迭代儿'=X< 儿 …xk = — k = 1,2,3,...1） 写出林的精确表达式2） 计算兀8兀83） 计算II占一 V2 %与I厂8 -几2 I四、（20分）设对任意给定的£>0,广（切在⑺-£小+刃上连续。

定义3旳侧1)证明：求/；(x) = 0的New伽迭代公式为:2)设兀；是的零点，如果在兀：的领域内/；(x)满足\fAx)-f^y)\

④ 若4为严格主对角占优阵，则求解方程Ax=b的Gauss-Seidel迭代必 收敛3•在方加坐标系中画出y=f(x)的一种图形,使得用Newton迭代法解/j%)=0的近似根时发散, 并在兀轴上标明兀0的位置內 +al2x2 = b}fz21X] +a22x2 = b2x［k) = —(6j -al2x^~i})4.用丁 Q/,2,3,丿求方程组君)=丄@2-偽用i)a22(%1，血2 H0)的近似解，则迭代收敛的充要条件是—5.1是非奇异矩阵，从=兀0且如+ &)" +源则解的相对误差罟的上限为 6. —个次数不高于 5 次的多项式 P5(x), 满足c _ 1 1 . 1 , 1 . <&(0) = /(0),P5(0) = f (0),P5(-) = /(-),p5(-) = f (-),^(1) = /(1)^(1) = /(1)且/(6)(X)连续，则该插值多项式的余项f(x)-P5(x)= 7. 求次数不超过3次，H•满足下列条件的插值多项式：f(X) f(x)该插值多项式为 &切比雪夫(Tchebycheff)多项式所满足的递推关系式为： 陥⑴= -(X) 昭⑴其中w= ,人(兀)=9. /(x) = x2+3x + 1在□上的一次最佳一致逼近多项式是 Q b — ci10. 川求解J f(x)dx的梯形公式T =——(/©) + /(/?))和中矩形公式H — 辿)作组合，得到具有高精度的求积公式S,贝|JS= 211. 设用/2等分他□区间的复化梯形公式求积分［exdx, 当〃n 时，保证课差不超过丄乂10一4212. 设幷兀,刃关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即： \f(x,yi)-f^y2)\

为何值时①Jacobi迭代法收敛②Gauss-Siedel迭代法收敛02研究生计算方法试卷A一、 设 f(x)eC2［a,blf(a) = f(b) = 0证明：max I /(%) l<-(b-a)1 max I f'\x) I (16分)a