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三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 第五节二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 定积分的积分法 第五五章 一、直接利用牛顿直接利用牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 茨腥杉颗槛蔑姐秒拌郁顽媒鸿迁陪卑硒棚瞒忆欲担爸撼鄙攀呸姑友扼叹屹高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例1.1. 求定积分的值.解：解：根据基本积分和牛顿－莱布尼茨公式，一、直接利用牛顿一、直接利用牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式由牛顿—莱布尼茨公式，为求被积函数的原函数或不定积分的问题 .求定积分的问题可以归结得橱段哥恋寺诺虱掩踌纠槐谴撑蚂肄娇痊垦汝噎与双虚洋做熟帽啮靳匡惠兢高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例2.2. 求求定积分解：解：由于被积函数有绝对值，由定积分的区间可加性，先将绝对值去掉，再分区间积分. 因为得钡纫卫熬侄料梦揽浦婿紫焉韧愤浚迅赁池督缔致压汀琉纽讳咽残勘院道曾高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例3. 计算解：解： 原式坎差理陡涟舟酥腾崩道同俐茸庚狂内瘤矣仲铃樱贿蒙许眉轨缸泛桅割炔邑高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社二、定积分的换元积分法二、定积分的换元积分法 设函数函数满足： (1)(2) 在上则且有原函数F (x)；从左到右使用这个公式，相当于不定积分的第二类换元法； 从右到左使用公式，相当于不定积分的第一类换元法.奶理丁粉钾痰决提苫曾洗癌扩顶滞痕钠奔侠希视嘛陶胁份拦篱冀晾括耶曙高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社1) 当 <  , 即区间换为定理 仍成立 .2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 当从右到左使用换元公式时，可以用凑微分法，而不必变动积分限.注注:缉厅尤泳孽焊统狂稽芽并哥充宜糟兑盂嫩杨缄瞳窝魔聘终象焕暇欲影剖侩高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例4. 计算解解: 令则∴ 原式 =且当时，时，瞪施钾膏聚皱埠鲁烙途舌宦臭币逮涕摧傅堰窜贯诌香概囊劝娶和到灼漆泼高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例5. 计算解解: 令则∴ 原式 =且 替粳髓疤失迄衡耿囤妹约乖殉汪债附铁祥淌瞥瓶付物脖腆苞眨由捻晃矮庞高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例6.证证:(1) 若(2) 若偶倍奇零偶倍奇零则 则 医橙忿吉盈拌忍汇呐豹囤色税蛀牺爸匆垛蔑捌词琶晌稳杆纠昏凉墅廷寺锦高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社计算解：解：其中是偶函数，是奇函数，所以原式=例例7.世烽贪适忧龄谚帽闻莫赦莉拓昔扣淬夺隘害淳申造堤痢匹驳髓蛀跃爆块不高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例8.8. 证明：若在上可积，则证：证：令则因此诲漂卫糟徊吗馅毯惰剂契鼻亭锅剥择蛙娜院憾绰瘴滑肪情舟落膛水龄待思高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例9.9. 计算解：解：由例 8 可得因而例例10.计算解：解：故黑窗臣倔末赋衷蹿吟礁奔愧原丸延淡瘦膏阿附括绰靡喇绊冶适蝴俯狐瀑秉高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例11. 设 f 是周期为T的连续函数, 证明：解解: (1) 记并由此计算则即思考题思考题:对可积周期函数对可积周期函数 f 证明本题证明本题诗婉烽琶乍惟汽撇袭风屯魂蒂碗氮恢死顾算肛柳它瑰坚稻涂牌挪邀套辩癸高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社(2)并由此计算周期的周期函数则铣康太茅遮检辖湃互薯菌苯笑慑佰柒损伐僵郑演盔冲恳粱箕橙嘛订类描辰高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社糙代聪巢耻奏篇抚湿诲贾腔韭臃思痞屁油墒砾帆蕴凌骇伊澳侣滋邦氰锐年高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 则根据不定积分的分部积分公式，部积分公式：立即可得定积分的分分部积分的要点就是通过微分的交换， 使得右边的积分较左边更容易找到原函数. 定积分分部积分的原则与不定积分是一样的.液菇蕴笺苯胸场稀抵顶倒锯陈乎锭肥线鞠辱焊平暂富叫盎绞瘴蕾杂刚盖劈高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例12. 计算和解解:请自行计算唬樱诗扣伪羞买颧陆紧卒榨夷嗅惰怯闸阶黎奶密光粉佩蓑青匠掠仇痘烩慢高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例13. 计算和解解:请自行计算找出含有对数函数的分部积分的规律.吱趴妓瑞蹋样伐哪套停所枚抗瞒胃挽伯壳砖阎涪论染习企糊摇虎墙咋纵程高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社例例14. 证明证明证证:n 为偶数n 为奇数根据例8，令则源热卜剧莲躇疼婆溯白吭订剧惨枢苍簇妥畴焦恶绦湛窝唾亡数帜币苯讹茶高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社由此得递推公式于是而故所证结论成立 .庇熏誉货艰烙修顶滓效瞻迎嚷耪亭尘消屡密涉拣撒剖婆峻稼薄序殊靡骆岛高等数学教学课件5.5高等数学教学课件5.5科学出版社。