数学与应用数学专业本科生毕业论文设计.doc

本 科 生 毕 业 论 文（设 计）( 2011 届)论文（设计）题目: 计算机一级课程中介绍的不同进制数转换方法之数学原理学 院：数学科学学院专 业：数学与应用数学学 号：200710700098姓 名： 指导教师姓名及职称： 副教授 2011年4月目 录一、摘要······························································2二、关键字····························································2三、正文······························································2 1、二进制、八进制、十六进制转化为十进制·····························2 1.1、二进制转化为十进制的一般方法···································2 1.2、按基值重复相加法···············································3 1.3、八进制、十六进制转化为十进制···································3 2、十进制转化为二进制、八进制、十六进制·····························3 2.1、十进制转化为二进制的方法·······································3 2.2、十进制转化为八进制、十六进制···································6 3、二进制、八进制、十六进制之间的转换·······························6 3.1、二进制与八进制之间的转换·······································7 3.2、二进制与十六进制之间的转换·····································8 3.3、八进制与十六进制之间的转换·····································8四、参考文献·························································10五、英文说明·························································10计算机一级课程中介绍的不同进制数转换方法之数学原理专业：数学与应用数学 学号：200710700098学生姓名： 指导老师姓名： 内容摘要本文介绍了各种进制之间的各种转换方法，并通过不同进制之间转换的计算逐步推导，逐步揭示其数学原理。

本文旨在研究数制转换的数学原理，但又能从基本原理中找到新的思路，新的方法，使数制转换更加快捷方便，简洁易懂关键字方幂和；进制转换；取余法；按权展开法；减权定位法正文众所周知，在这个科技发展日新月异的时代，计算机已经成为一个人们大众化的必不可少的工具，而计算机工作原理是建立在二进制数计算的基础之上，而人们日常计数是采用十进制计算，这就带来了一些问题，二进制与十进制之间如何转换？后来又发展出了8进制，16进制数，各类进制数之间的转换也有相应的方法，笔者就进制转换的问题展开，探究进制转换原理，并在此基础上开拓新的思路，将进制转换的问题作进一步阐释在介绍进制转换方法前，首先要介绍一个概念方幂和,第一个概念是幂，幂：（power）指乘方运算的结果指将n自乘m次的结果叫做n的m次幂方幂和即由n的不同次幂相加，例如：表示为n的一个方幂和，其中为小于n的常数在后面的文中会常用到此概念，故在此引入1.二进制，八进制，十六进制转换为十进制的一般方法1.1二进制转换为十进制的一般方法我们知道任意十进制数我们可以将其表示成10的一个方幂和，例如：反过来我们将此方幂和按十进制相加就得到976对于一个二进制数，例如：，我们将其表示成2的方幂和，即，如果按二进制相加，其结果仍旧为，如果按十进制相加，就得到一个十进制数16+4+2=22.此种方法又被称为“按权展开法”[2]。

类似的，二进制的小数也可以按照此方法进行转换，例：=27.5.1.2按基值重复相加法[1]:整数部分采用基值重复相乘法，例：，小数部分采用基值重复相除：，我们来分析基值重复相乘法的原理，最高位乘2后加第二位，再乘2后加第三位，以此类推我们将其展开得到=，而基值重复相除我们也类似展开得到：，即无论是基值相乘还是基值相除，其原理依旧是按权展开法1.3八进制，十六进制转换为十进制其方法与二进制转化为十进制方法一样，分别将其表示成8或16的方幂和，然后按十进制相加各举一个例子：，总结，将任意n进制数（）转换成十进制数其方法是将该数表示成n的方幂和，然后按十进制相加就得到所要转换的十进制数2.十进制数转化为二进制、八进制、十六进制的方法2.1.十进制转化为二进制的方法通常采用取余法[1]，即将十进制数连续除以2取其余数，直至余数小于2为止例如将123转换为二进制数重复除以2 得商 取余数123÷2 61 1 最低位61÷2 30 130÷2 15 015÷2 7 17÷2 3 13÷2 1 11÷2 0 1 最高位由此，，我们还原一下重复相除的过程即：。

显而易见，取余法实质就是按权展开法的逆运算而为什么第一次除得的余数为最低位，而最后一次除得的位数为最高位呢？我们来分析这一过程：，我们将此幂的形式变换，我们提出公因子2，最后一项保留即：，由此我们看出第一次将123除以2余数为1商为，就是上式中括号里的部分，而余数1恰好是最后一位，同理我们再提出公因子2，即：第二次除2得到的余数还是1，这就是倒数第二位，商以此类推，最后一次余数为1是最高位对于一个二进制数，设其为：，即根据前面的推导，我们得出取余法实质是将其表示成如下形式：而对应其二进制数的最高位，对应其二进制数的最低位以此类推，余数从最低位开始，直至得出所转换的二进制数然而，当所要转换的十进制数较大时，取余法就变的很繁琐，计算起来非常的麻烦，对于较大的十进制数有无快速转换的计算方法呢？就是下面要提到的“减权定位法”[2]例如将十进制数5148转换为二进制数十进制数 位权 转换后的结果 5148 -4096 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1052 -1024 28-16 12 -8 4 -4 0于是有，减权定位法大大减少了重复相除的次数，不难看出，首先减去一个能够减去的最大2的幂，那么转换后二进制数的位数也同时确定，为12+1=13位。

同时最高位上商1.由于为二进制数，每位只有0、1两种可能以后依次减去能减去的最大的2的幂，同时上商1，其余没有减去的位权均上商0，就得到所有转换的二进制数减权定位法缩短了计算步骤，在重复相除的过程中将余数为0的位数除法略去，从而一步到位，另外通过观察我们可以发现减权定位法其实是将十进制数5148表示成了2的方幂和即：，我们略去2的幂系数为0的项，再转换为二进制数时从最高位起取其系数就得到所要转换的二进制数对比发现这个过程就是按权展开法运算过程的逆对比取余法和减权定位法，前者是逆运算，后者是运算过程的逆，显然减权定位法要比取余法更方便在二进制转换为十进制数时，我们讨论过小数的转换，那么十进制转换为二进制时，小数又该如何转换呢？看下面一个例子：将0.6875转换为二进制采取重复相乘法重复乘以2 得小数部分 取整数0.6875×2 0.3750 1 最高位0.3750×2 0.7500 00.7500×2 0.5000 10.5000×2 0.0000 1 最低位所以，在二进制转换为十进制时，小数部分采用的是基值重复相除法，那么小数的十进制转换为二进制时就必然是重复相乘。

这样就符合了转换为基值重复相乘的逆运算同样我们也可以用减权定位法来计算，我们直接将其表示成2的方幂和的形式即：，同样取2的幂的系数我们观察刚刚给的小数0.6875，在经过有限次重复相乘后刚好得到整数1，那么0.6875转换成的二进制数刚好是有限小数，那么是否任何一个十进制的小数都能转化为一个有限的二进制小数呢？显然不能，我们任取一个十进制小数0.53，按减权定位法，得到：，我们无法将其表示成有限个2的幂相加，即0.53转化为二进制数为无限小数在二进制转化为十进制数时我们并未遇到此类问题，那么什么样的十进制小数才能转化为有限位的二进制小数呢？我们来分析0.6875这个小数，我们将其表示成分数的形式即，观察分母为，分子为11,11转化为二进制数为，而0.6875转化为二进制数恰好为，这是不是某种巧合呢？进一步分析，我们在表示十进制小数时同时可以将其表示成相应的分数，例如，由于分母为10的4次幂，那么小数必定有四位，即6875，所以小数为0.6875我们再来看约去公因数后的最简分式：，分母为2的4次幂，同样，转化为二进制小数时小数也为四位，而分母11同时转化为二进制数，于是转化为的小数就为16相比10000正好约去了5的4次幂，所以分母变成了2的4次幂，所转化为的小数就为有限位。

而不可约，分母不为2的任何次幂，那么所转化的二进制小数为无限小数由于10=2×5，在小数0.6875中，6875=11×5×5×5×5，所以恰好约去了5的4次幂，于是分母10000的5都被约去，剩下2的4次幂，由此我们给出一个结论，对于任何一个十进制小数我们表示成的形式，m＜，若m中含有n个5，则该小数能转化为有限位二进制小数否则，转化为的二进制小数为无限小数关于十进制数转化为二进制数，限于篇幅，就讨论到这里2.2.十进制数转化为八进制数，十六进制数类似的，转换原。