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随机过程综合练习题一、填空题（每空3分）第一章1．是独立同分布的随机变量，的特征函数为，则的特征函数是 2． 3． 的特征函数为，，则的特征函数为 4．条件期望是 的函数， （是or不是）随机变量5．是独立同分布的随机变量，的特征函数为，则的特征函数是 6．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为，以记进行到次试验为止A发生的次数， 则是 过程9．正交增量过程满足的条件是 10．正交增量过程的协方差函数 第三章11． {X(t), t≥0}为具有参数的齐次泊松过程，其均值函数为 ；方差函数为 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为，，且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。

13．{X(t), t≥0}为具有参数的齐次泊松过程， 14．设{X(t), t≥0}是具有参数的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or非齐次）泊松过程．17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是 ．第四章18． 无限制随机游动各状态的周期是 19．非周期正常返状态称为 20．设有独立重复试验序列以记第n次试验时事件A发生，且，以记第n次试验时事件A不发生，且，若有，则是 链。

答案一、填空题1．； 2．； 3． 4．是 5．； 6．等价7．时间差； 8．独立增量过程；9． 10．11．； 12． 13． 14． 15．240000 16．复合； 17．18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链； 二、判断题（每题2分）第一章1．是特征函数，不是特征函数 ）2．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价 ）3．任意随机变量均存在特征函数 ）4．是特征函数，是特征函数 ）5．设是零均值的四维高斯分布随机变量，则有（ ）第二章6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程 ）7．独立增量过程是马尔科夫过程 ）8．维纳过程是平稳独立增量过程 ）第三章9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程 ）第四章10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返 ）11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集 ）12．有限马尔科夫链，若有状态k使，则状态k即为正常返的 ）13．设，若存在正整数n，使得则i非周期。

）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态 ）15．i是正常返周期的充要条件是不存在 ）16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集 ）17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态 ）18．i是正常返周期的充要条件是存在 ）19．若，则有（ ）20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）答案二、判断题1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√6．√ 7．√ 8．√ 9．×10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√ 16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√三、大题第一章1．（10分）—（易）设，求的特征函数，并利用其求2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，出现正面和反面的概率相等，求的一维分布函数和，的二维分布函数3．（10分）—（易）设有随机过程，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求的一维和二维分布第二章4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞), b为常数，V服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。

5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数6．（10分）—（中）设是实正交增量过程，是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一都与相互独立，求的协方差函数7．（10分）—（中）设，若已知二维随机变量的协方差矩阵为，求的协方差函数8．（10分）—（难）设有随机过程和常数，试以的相关函数表示随机过程的相关函数第三章9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少? 10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。

11．（15分）—（难）设X1(t) 和X2 (t) 是分别具有参数和的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数的泊松过程12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差13．（10分）—（难）在时间t内向总机呼叫k次的概率为，其中为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}． 16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。

17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min 18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t) 19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求 (1) 在5 min内到达顾客数的平均值；(2) 在5min内到达顾客数的方差；(3) 在5min内至少有一个顾客到达的概率． 20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率． 21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t≥0)是强度分别为和的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k个事件发生的概率为第四章22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为时，经三步转移后处于状态3的概率。

23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X(n)，n≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X(n)，n≥0}是遍历链；（3）求24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： 求下一、二个月的销售状态分布25．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I＝{1，2，…，7}，转移概率矩阵为求状态的分类及各常返闭集的平稳分布26．（15分）—（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间27．（10分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I＝{0，1，2，3}，转移概率矩阵为求状态空间的分解28．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I＝{1，2，3，4}．转移概率矩阵为讨论29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为求其平稳分布。

30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分当有一人获得2分时比赛结束．以表示比赛至n局时甲获得的分数，则是齐次马尔可夫链． （1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵； （3） 求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率． 31．（10分）—（中）(天气预报问题) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l因此问题是两个状态的马尔可夫链．。