实验四材料的切变模量与刚体转动惯量的测定(精).docx

实验四 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）【实验目的】 本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方 法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种 形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量 的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪图1 切变模量与转动惯量实验仪简图（其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关5、铷铁硼小磁钢 6、底座 7、数字式计数计时仪 8、标志旋钮 9、扭动旋钮2、仪器使用方法（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再 把夹头放回横梁上用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上 的霍耳开关（4）同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致3）调节立柱的两个底脚螺丝使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8 毫米左 右4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。

此时爪手将绕钢丝作摆动5）爪手有多种功能圆环可水平放在爪手上面作振动也可以垂直装在爪手下面作振动爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变 模量或刚体的转动惯量3、数字式计数计时仪使用（1）开启电源开关，使仪器预热10 分钟2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求3） 使爪手作扭转振动当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将导 通，即产生计时触发脉冲信号4） 数字式计数计时仪有延时功能当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0 当计数显示 1 时，才显示计时半个周期5） 计数计时结束,可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时 间，其中计数 2 次为一个周期要查阅每半个周期时间，只要按一次下降键即可4、另外，还需要螺旋测微仪，游标卡尺，米尺，电子天平（公用）图 2 实验装置实物照片【实验原理】 材料在弹性限度内应力同应变的比值是度量物体受力时变形大小重要参量正应力同线 应变的比值，称为杨氏模量；剪应力同剪应变的比值，称剪切弹性模量，又简称切变模量 与杨氏模量相似，切变模量在各行各业有着广泛的应用直至和人民大众日常生活密切相关 的 建筑物抗震等性能都与切变模量参量有关。

设有某一弹性固体的一个长方形体积元，顶面（底面）面积为A，它的顶面固定，如图 3所示在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F ,在这个力作用下，两个 侧面将转过一定角度见图3,通常称这样一种弹性形变为切变在切变角Q较小的情况 下，作用在单位面积上的切力F /A与切变角a成正比1）图3式中G是一个物质常数，称为切变模量G的单位为Nm -2，大多数材料的切变模量约为杨氏模量的 1/3 到 1/2，在实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何上 说，就是一个细长圆柱体，如图4所示设圆柱体的半径为R，高为L，其上端固定，下端 面受到一个外加扭转力矩的作用，于是圆柱体中各体积元（取半径为r、厚为dr,高为L的 圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（1），每个 体积元受到的外力矩为dM 二 raG2兀 rdr = 2兀aGr2dr外(2)设圆柱体底部绕轴转动了%角如果a< 1°,则弧长s ~ La，而s 二r"0'所以r a二甲0 L2）式代入（ 3）式，得到4）对（4）式积分，可等到总力矩G R 兀 R4M = 2 兀 o I r3 dr = G 申 外 L 0 2 L 005）圆柱体内的弹性力矩为M 0，平衡时有叫一气图4令 d = 1G—，则有 M 二-M2 L 外 0对于一定的物体D是常数，称为扭转系数。

扭摆的结构如图5所示，爪手及圆环安放位置如图5所示，若使爪手绕中心轴转过某一角度0，然后放开，则爪手将在弹性扭转力矩M作用下作周期性的自由振动，这就构成一 0个扭摆若钢丝(或铜丝)在扭转振动中的角位移以0 表示，爪手整个装置对其中心轴的转 动惯量为10，根据转动定律则有M = - D申=I旦0 dt 2d 2Q D 门+ Q 二 0dt 2 I0O'c圆环O'扎具手圆环(a)圆环(b)图66)爪手图5上述方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是T = 2n0由图 6 所示，将一个已知内外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直放在爪手上，绕同一轴(钢丝)转动测得的振动周期分别为T1和T2而环状刚体在绕轴(环心) 作水平转动时转动惯量为I，环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时转动惯量为I ,爪12手绕中心轴转动时转动惯量为I，那么由(6)式可以知道， 04兀2 4兀2T 2 = (I +1) ; T 2 = (I +1 )1 D 0 1 2 D 0 2从两式中消去10，并将代入，可以得到切变模量G的表达式为7）c 8n LI -1G = . 1 2-R 4 T 2 - T212由理论计算可知’环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量s环状刚体绕任一直径转动的 转动惯量12分别为8）9）+ d2 [)12丿上式中，b为环的内半径，c为环的外半径，m为环的质量。

d为环状刚体的厚度因此,根据公式（8）、（9）计算得到I、I测量出T、T，通过公式（7）就能得到材料的切变 1 2 1 2模量 G 另外，公式（6）又可以写成T20IL―0—R4G10)ILG = 8 兀 0T2R40GR4T2= 00 8兀L由上式可以看到，如果已知10就可以得到切变模量G，反之，知道了切变模量G，就可以得到转动惯量为I由于I是不规则的刚体，很难得到其过中心轴的转动惯量I，因此0 0 0可以利用T20IL―0—R4GR4G两式相减，得到T 2 — T 2 = 8 兀 i-1 0 R 4GLIG = 8 兀 i (11)R4(T2 —T2)10转动惯量的平行轴定理理论分析证明，若质量为m的刚体绕质心轴的转动惯量为I，若转轴平行移动距离为x 0时，则物体对新轴转动惯量为I = I + mx20垂直轴定理若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴X和Y轴）的转动惯量为I和I，则薄板（或环）绕Z轴的转动惯量为xyI 二 I +1 （13）z x y 此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆 盘绕其直径的转动惯量的两倍实验内容和要求】必做部分1 、 安装实验装置，调整数字式计数计时仪 仪器使用使用注意事项（1 ）请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落冲力易将钢丝或铜丝拉断（往 往在钢丝与扎头连接处断）。

2） 实验结束请将环放在桌上，以减轻钢丝负重3） 材料的切变模量与杨氏模量相似，与材料的成份、热处理工艺等均有关如用树脂 漆包线测得切变模量与纯铜丝的切变模量不相同各种钢丝加工、热处理工艺不相同，切变 模量也差异很大4） 如果当磁钢靠近霍耳开关时，此时触发指示灯无反应时则是磁钢的磁极放反了，取 下来换个方向，就可以了此时触发指示灯为暗）2、 用电子天平称圆环的质量m用游标卡尺测圆环内直径2b、外直径2c和高度d， 用螺旋测微仪测量钢丝直径2R，用米尺测量钢丝长度L （上下固定点O、0,距离）注：钢丝直径、圆环内直径2b、外直径2c和高度d的测量采用多次测量取平均的方法， L的测量采用单次测量的方法3、 计算钢丝的切变模量G ,（用两种方法计算并比较）（1） 测量爪手空载时摆动周期T ；金属圆环水平放置在爪手上时的摆动周期T ；金属01圆环竖直吊置在爪手上时的摆动周期T测量周期应该采用多周期多次测量的方法，要测2量5〜6次，每次测量10个周期）2） 利用（7）、（8）、（9）式计算钢丝的切变模量G4、 验证平行轴定理（1） 用电子天平称重钢珠质量m,用螺旋测微仪测量小钢珠的直径2r,将两颗钢珠放 置在爪手上跟爪手中心轴对称的位置上，并用游标卡尺两个位置的距离d ,测量系统（爪手4兀2加两颗钢珠）绕中心轴的摆动周期T，待人公式T2 ^―— （I +1 ）4 4 D 0 4可以得到系统通过爪手中心轴的转动惯量（I +1）。

04（2） 利用内容3测得的钢丝的切变模量G及空载时测得的爪手通过中心轴的摆动周期T，代入公式(10),可得到爪手空载时通过中心轴的转动惯量I ,代入上面得到的(I +1 ),0 0 0 4可以得到一个钢珠通过爪手中心轴的转动惯量I，验证I是否满足平行轴定理:332I = 21 = 2(— mr 2 + md 2)435式中2 mr 2为一颗钢珠绕任一直径的转动惯量选做部分1、 测量铜丝的切变模量，并与钢丝切变模量进行比较2、 用扭摆测量柱状刚体的绕钢丝轴转动惯量，并与理论计算值进行比较3、 验证刚体转动的垂直轴定理实验数据记录表格和有关计算公式1 、试样参数测量表一 圆环、方柱、圆柱和小球的几何尺寸测量测量次数圆环外直径 c(cm)圆环内直径 b(cm)方柱长度L(cm)圆柱长度L' (cm)小球的直径2r(cm)12345平均值表二 测量试样的质量，转动惯量的理论值试样圆环Iio方柱J圆柱I1 60小球I30质量(g)转动惯量理论值(kgm2)2、试样过对称轴的转动惯量的计算公式1圆环的转动惯量 I二m(R2 + R2)2121方柱、圆柱的转动惯量 I二］2 ml22钢珠的转动惯量 I二5mr2圆环的转动惯量I = kgm2； 方柱的转动惯量I = kgm210 50圆柱的转动惯量160= kgm2 ； 钢珠的转动惯量130= kgm23、琴钢丝和黄铜丝材料切变模量的测量表三 琴钢丝材料的切变模量 (计数为N=20,计时t=10T)第i次123456空载时间(10To) (s)平均空载周期T. (s)圆环水平放置(10T,) (s)平均周期T1 (s)圆环垂直放置(10T )(s)平均周期T2 (s)钢丝直径2R (mm)平均直径(mm)钢丝长度L(cm)钢的切变模量(Nm-2)该琴钢丝切变模量的公认值是7.80X lOioNm-2,要求计算百分差。

表四 黄铜丝材料的切变模量 (计数为N=20,计时t=10T)第i次123。