第27讲三角形的不等关系W.doc

第27讲 三角形中的不等关系几何不等式之所以特别吸引人，是由于人们很容易地掌握它们的陈述，同时它们又是创造性的数学思想和现代数学精神的一个极好的入门 ——N.D.扎卡里诺夫知识方法扫描1．三角形中边的不等关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在直角三角形中 ，斜边大于直角边2．三角形中角的不等关系：三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角3．同一个三角形中的边角不等关系：大角对大边，小角对小边；大边对大角，大角对大边4．两个三角形中的边角不等关系：有两条边相等的两个三角形中，若夹角不相等，则其夹角大的所对的第三边也大；反之，若第三边不等，则第三边大的所对的角也大5．运用几何变换（平移，旋转，对称）的方法来改变几何元素的相对位置关系，是处理几何不等式问题的常用方法6．用代数方法来比较两个几何量的大小，体现了数形结合的思想，也是一种常用的方法经典例题解析例1（第一届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）设凸四边形ABCD的对角线相交于O，且AC⊥BD，已知OA>OC,OB>OD,求证： BC+AD>AB+CD.证明 在OA上截取OC’=OC，在OB上截取OD’=0D，连结AD’,BC’,C’D’.显然有△AOD≌△AOD’, △COB≌△COB’, △COD≌△C’OD’.. 于是有AD=AD’,BC=BC’，CD=C’D’. 所以 BC+AD= BC’+ AD’=BP+PC‘+AP+PD’ >AB+C‘D’=AB+CD。

例2（1997-1998学年度天津市初中数学竞赛试题）如图，四边形ABCD中，BC>CD>DA,O为AB中点，且∠AOD=∠COB=60°，求证：CD+AD>BC.证明 如图,在OC上截取OE=OD连接DE,BE, 因∠EOD=180°-∠AOD-∠COB =60°， 故△DOE为等边三角形.又OA=OB，∠AOD=∠COB，OD=OE，于是△ADO≌△BEO, 故AD=BE.又在△DEC中， ∠CED>∠OED, ∴CD>CE.∴AD+CD>BE+CE>BC.例3（1982年湖北省初中数学竞赛试题）在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰A彻底延长线上取CE=BD，连BD，则DE>BC证明 作DD’⊥BC, EE’⊥BC, 垂足为D’,E’.在Rt△BDD’与Rt△CEE’中，∠B=∠ACB=∠ECE’,BD=CE,故 △BDD’≌ △CEE’于是BD’=CE’ 所以DE=DM+ME>MD’+ME’=MD’+MC+CE’= MD’+MC+BD’=BC.例4（1988年北京市初中数学竞赛试题）如图P为边长为 1的等边三角形 ABC形内任意一点.设l=PA+PB+PC, 求证: 1.5AB=1,BP+CP>BC=1,CP+AP>AC=1,相加，得2（PA+PB+PC）>3, 故l>1.5。

过P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N则△AMN是正三角形MN=AB.而∠APN>∠AMP=60 º, 故PAAC+BD证明 设BC=a,CA=b,AB=c,CH=h，由勾股定理有 a2+b2=c2, 由面积关系有ab=ch.,于是 (c+h)2=c2+2ch+h2= a2+b2+2ab+ h2=(a+b) 2+ h2>(a+b) 2所以 c+h> a+b，即AB+CH>AC+BD例6（1993年浙江省初中数学竞赛试题）如图，在RtΔABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，H为斜边AB高的垂足，G是DH的中点设O为AB上任意一点求证：∠EOF取最大角是∠EGF。

证明 连结EF，则EF∥AB，四边形EDBF是平行四边形DE=BF=BC=HF，而∠FDG=180º-∠B=180º-∠FHB=∠FHG, DG=DH，于是△FDG≌△FHG，从而EG=FG，∠EGD=∠FGH 延长FG到N，使GN=GF，连结ON显然有△OFG≌△ONG，在△EGO与△NGO中, GO=GO，GE=GN，∠OGE<∠OGN, 于是OE∠ONG=∠OFG.,于是∠EOF<∠EGF例7（2000年第15届江苏省初中数学竞赛试题）（1）如图1a，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，证明：BC＋DC＝AC； 图1a 图2a（2）如图2a，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，证明：PA＋PD＋PC≥BD证明（1）如图1b，延长BC至E，使CE＝CD因∠BCD＝120°，所以∠DCE＝60°又CD＝CE，于是△CDE为等边三角形故DE＝CD＝CE，∠CDE＝60°。

又AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，故AB＝AD＝BD，∠BDA＝60°从而∠ADB＝∠CDE，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC＝∠BDE所以△ACD≌△BED，因此，AC＝BE＝BC－CE＝BC＋CD，即AC＝BC＋CD 图1b 如图2b （2）如图2b，在四边形ABCD外侧作正三角形AB′D，利用∠APD＝120°，则四边形AB′DP符合（1）中的条件于是B′P＝AP＋PD易知B′C≤PB′＋PC，得B′C≤AP＋PD＋PC因△AB′D是正三角形，故AB′＝AD，∠B′AD＝60°又易知△ABC是正三角形，故AC＝AB，∠BAC＝60°，由此得△AB′C≌△ADB故B′C＝DB所以 PA＋PD＋PC≥BD例8 （2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，AA’，BB’，CC’交于点O，且AA’=BB’=CC’=1，∠AOC’=∠BOA’=∠COB’ = 60º （1）求证:S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’<;（2）求证:S△AOC‘, S△BOA’, S△COB’中至少有一个不大于。

证明 （1） 证法1 如图，延长OC至D，使得CD=C’O，延长OB’至E,，使得B’E=BO连结ED，易知△ODE是边长为1的等边三角形，在ED上截取EF，使EF=OA’, 连结CF，则△OBA’≌△EB’F, △C’AO≌△CFD, 而S△ODE=, 所以S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’= S△FDC+S△B’EF+S△COB’< S△ODE=.证法2 设OA=a,OB=b,OC=c,’则S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’=[a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)]= (a+b+c-ab-bc-ca)而(1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc>0，所以a+b+c-ab-bc-ca<1-abc<1.即S△AOC‘+S△BOA’+S△COB’<.（2）假设S△AOC‘>，S△BOA’ >，S△COB’>，记OA=a,OB=b,OC=c,则，所以abc(1-a)(1-b)(1-c)>, 而02AB（B）AC=2AB（C）AC≤2AB（D）AC<2AB2. （2005年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，在等边△ABC中，BD=2DC， DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（ ）。

A) AP>AE>EP(B)AE>AP>EP(C) AP>EP>AE(D) EP>AE>AP3．（1998年第九届希望杯数学邀请赛试题）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC， BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC于H，则BM与CE的大小关系是（ ）（A）CF＞GB（B）CF＝GB（C）CF＜GB（D）无法确定的4．（2000年江苏省初中数学竞赛试题）如图，AD是ΔABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（ ）（A）BE+CF>EF（B）BE+CF=EF（C）BE+CFAC,AD，AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和AE的大小关系是AD AE。

填“>”,“<”或“=”）8．（1999年天津市“数学新蕾”竞赛试题）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上移动，则PE+PC的最小值为 9．（1997年山东省初中数学竞赛试题）若a,b,c为一个三角形的三边长，且a>b>c，则下列命题：①以a2,b2,c2为长度的三条线段一定能构成一个三角形②以为长度的三条线段一定能构成一个三角形③以a+b,b+c,c+a为长度的三条线段一定能构成一个三角形④以a-b,b-c,a-c为长度的三条线段一定能构成一个三角形其中正确的命题是________填写正确命题的序号)10．（2000年 全国初中数学联赛试题）设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=________三． 解答题11．（1991年杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）如图,△ABC中,AE是∠A的外角平分线,D是这条平分线上的任一点,试确定AB+AC和BD+DC之间的大小关系,并加以证明12．（1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图，△ABC中，AD⊥BC，D在BC上，已知∠ABC>∠ACB,P是AD上的任意一点，证明：AC+BP