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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟162一、填空题问题:1. 设在x=0处连续，则a=______．答案:e-1[解析] 因为所以a=e-1．问题:2. f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2-2A=O，该二次型的规范形为______．答案:[解析] A2-2A=0r(A)+r(2E-A)=4A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为．问题:3. 设随机变量X的密度函数为若，则a=______．答案:2[解析] ，则a=2．问题:4. 差分方程yx+1+yx=x·ex的通解为______．答案:[解析] 先求yx+1+yx=0的通解． Yx=C(-1)x，(C为任意常数)(齐通)． 再求yx+1+yx=x·ex的特解． 令，代入yx+1+yx=x·ex，得 [A(x+1)+B]ex+1+(Ax+B)ex=x·ex，即有(Ae+A)x+Ae+Be+B=x， ∴Ae+A=1，Ae+Be=0， ∴ 问题:5. 答案:[解析] 二、选择题问题:1. 设f(x)在点x0处连续，且，则______A.x0不是f(x)的驻点B.x0是f(x)的驻点，但不是极值点C.x0是f(x)的极大值点D.x0是f(x)的极小值点答案:D[解析] 由已知极限可推得及．由于f(x)在x0处连续，所以由知f(x0)=0．又，可知，故．从而知存在δ＞0，在x0的某空心邻域内f(x)-f(x0)＞0，即x0是f(x)的极小值点，故选D． 本题考查的知识点是：极限的应用及对函数极值的理解． 问题:2. 设则f(x，y)在(0，0)处______．A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导答案:C[解析] 因为=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续； 因为所以f'x(0，0)=0，根据对称性，f'y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由得f(x，y)在(0，0)处可微； 当(x，y)≠(0，0)时， 则 因为不存在，所以f'x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f'y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C． 问题:3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且行列式|A|＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为 A． B． C． D． 答案:C[解析] 本题考查求抽象二次型的规范形．由题设条件特点只要求得A的特征值即得． 解 由条件A3=A可知A的特征值必满足λ3=λ，故λ=0，±1．又由|A|λ1λ2λ3＞0， trA=λ1+λ2+λ3＜0知，矩阵A的特征值为1，-1，-1，故二次型xTAx的规范形为f(x1，x2，x3)= 注 由n阶矩阵A满足f(A)=O可得A的特征值λ必满足f(λ)=0．但由f(λ)=0不能推得f(A)=O． 问题:4. 设f(x)在(-∞，+∞)内可导，则______ A．若=-∞，则=-∞． B．若=-∞，则=-∞． C．若=+∞，则=+∞． D．若=+∞，则=+∞． 答案:D[解析] 选项A的反例：f(x)=，f'(x)=； 选项B的反例：f(x)=x3，f'(x)=3x2； 选项C的反例：f(x)=，f'(x)=； 选项D的证明： 所以有，=+∞． 问题:5. 在关于级数的如下四个结论： ①若和都收敛，则收敛． ②若收敛，则与都收敛． ③若正项级数发散，则． ④若级数收敛，且un≥vn(n=1，2，…)，则级数也收敛． 中正确的结论是 A.①．B.②．C.③．D.④．答案:A[解析1] 由于级数都收敛，可见级数收敛． 由不等式2|unvn|≤及比较判别法知级数收敛，从而收敛． 又因，即级数收敛，故应选(A)． [解析2] 设，vn=1(n=1，2，…)，则可知(B)不正确． 设(n=1，2，…)，则可知(C)不正确． 设(n=1，2，…)，则可知(D)不正确． [评注] 在本题中命题(D)“若级数收敛，且un≥vn(n=1，2，…)，则级数也收敛”不正确，这表明：比较判别法(将一个级数与另一级数作比较)虽然适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别，但对任意项级数一般是不适用的．这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别．但对一般项级数有如下判别法：若Un≤un≤Wn(n=1，2，……)，又级数均收敛，则级数必收敛． 问题:6. 下列极限正确的是 A．． B．． C．． D．． 答案:B[解析] [评注] (A)应是．(C)应是为不存在．(D)中当x→∞时，其分母可以取到0值，该分式没有定义，无法讨论其极限． 问题:7. f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是______．A.f(x)，g(x)在x0处都可导B.f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C.f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D.f(x)，g(x)在x0处都可能不可导答案:D[解析] 令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡-1在任何一点都可导，选D．问题:8. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中， ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A-E恒可逆； 正确的有______个． A.1B.2C.3D.4答案:D[考点] 矩阵可逆性的判别． [解析] 命题①②③是借助行列式来判别，而④是利用定义来判别． 解：由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A，若A可逆，则B可逆，即①正确． 若A+B可逆，则|AB|=|A+B|≠0，则|B|≠0，即B可逆，②正确． 由于A(B-E)=B，|A||B-E|=|B|，若B可逆，则|A|≠0，即A可逆，从而A+B=AB可逆，③正确． 对于④，由AB=A+B，可得(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆． 故应选D． 三、解答题设总体X的概率分布为，其中参数未知，以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=0，1，2)．1. 求参数θ的矩估计量；答案:[解] 参数就一个θ，矩估计就用． EX=0·2θ(1-θ)+1·2θ2+2·(1-2θ)=2θ2-4θ+2=2(θ-1)2， 从得到， 由于，故，即．2. 求常数a0，a1，a2，使，ET=θ2成立，并求T的方差．答案:[解] ， Ni表示来自总体X的简单随机样本中等于i的个数，(i=0，1，2)，如果把样本X1，X2，…，Xn中每个Xi取i值看成是一次试验成功，Xi不取i值看成是一次试验失败，则样本的n个分量看成是n重独立重复试验．如果取i值即试验成功的概率为pi，则Ni～B(n，pi)，ENi=npi，DNi=npi(1-pi)． 所以ET=a0n2θ(1-θ)+a1n2θ2+a2n(1-2θ)=θ2 即(2a1n-2a0n)θ2+(2a0n-2a2n)θ+a2n=θ2 因此解得 这时 设A为n阶实对称可逆矩阵，3. 记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；答案:解 因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是，显然A*，A-1都是实对称矩阵．4. 二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?答案:解 因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(X)=XTAX规范合同．设f(x，y)在点(0，0)处连续，且其中a，b，c为常数．5. 讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出df(x，y)|(0,0)；答案:【解】当(x，y)→(0，0)时，ln(1+x2+y2)～x2+y2， 由f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得再由极限与无穷小的关系可知， (其中o(1)为当(x，y)→(0，0)时的无穷小量)， 则f(x，y)-f(0，0)-bx-cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)= 即f(x，y)-f(0，0)=bx+cy+o(ρ)(ρ→0)． 由可微性概念f(x，y)在点(0，0)处可微且 6. 讨论f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．答案:【解】由可知，于是当b，c不同时为零时，f(x，y)在点(0，0)处不取极值． 当b=c=0时，由于 又由极限保号性可知，当0＜x2+y2＜δ2时， 因此f(x，y)在点(0，0)处取极小值． 设总体X的概率密度为 其中σ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．σ的最大似然估计量为 7.答案:解：设样本X1，X2，…，Xn所对应的样本值分别为x1，x2，…，xn． 上式两边取对数 求导可得 令解得 因此极大似然估计量 8.答案:解：问题:9. 如图所示，直线y=c与曲线y=8x-x4在第一象限中交于两点A和B，且使得图中两个阴影区域的面积S1与S2相等．求常数c的值． 答案:解：设B点的横坐标为b，如题图．由题设S1=S2，由图形可知，曲边梯形OABb的面积与矩形OeBb的面积相等，即 又点B在曲线上，满足c=8b-b4 (2) 解方程(1)，(2)，可得．。