《量子力学II》教案2021.docx

《量子力学 II 》教案授课时间 2006.11.14 10:00-12:00第 18 次课授课章节第十二章 散射复习，习题课任课老师及职称孟庆田 教授教学方法与手段启示式讲授，多媒体课件课时支配2 学时使用教材和主要参考书曾谨言：《量子力学导论》北京高校出版社周世勋：《量子力学教程》人民训练出版社教学目的与要求：把握量子跃迁和散射理论各部分的学问点；教学重点，难点：|精.|品.|可.|编.|辑.|习.|学.|资.|料.教学内容：学习要点一，量子态随时间的演化对 Hamilton 不含时的体系， Schr.dinger 方程的解为(t)itU (t)(t )( 0)H (t )e iHt /( 0)如实行能量表象，就有(t)aneniE nt /n二，对于 Hamilton 含时的体系，存在瞬态本征值方程H.( R(t ))m ( R(t))Em ( R(t))m (R(t))|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.S-方程的一般解可以表示为而绝热近似解可写为(t)Cm(t) expmi tmE (R(t0)) dtm (R(t ))(t )an (t ) exptiEn( R(t0)) dtn (R(t))其中 an (t)i n (t )e.且为实数的 Berry 绝热相n (t ) 可写为n (t)ti dt0n( R(t)),tn ( R(t ))三，量子跃迁几率对于含时 Hamilton 体系，体系的状态可以写成某一力学量完全集 F 本征态的叠加，即(t )C nk (t )eniE ntn就在时刻 t 去测量力学量 F 得到 Fn 的几率为Pnk (t)2Cnk (t)而上式也为体系从初始状态 k 跃迁到 n 态的跃迁几率；而跃迁速率可以写为四，含时微扰论wnkdPnkdt(t)dCnkdt2(t)含时微扰论的一级近似解为有简并的情形下跃迁几率为C (1) (t )1 t eii 0k k Hk k dtk kPnl n l12l 1 m,mPn l m ,nlm与不含时微扰的关系 k H k|精.|品.对长时微扰对短时微扰(0)Pk k (t)kH k k2k Ek2sin2 (k ,Ekk k T 2)2 .|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.五，黄金规章( k k 2)单位时间的跃迁几率（跃迁速率）为wk k2 2H k k Ek Ek从初态 k 到Ek ~ Ek 邻近一系列可能末态的跃迁速率之和为w dEk(Ek2)wk k2(Ek ) H k k此公式称为 Fermi 黄金规章六，能量 -时间测不准关系E t ~ 2意义 : 能量辨论和时间辨论为不行能同时达到高精度要求的；七，光的吸取与受激辐射此时微扰项H kk Wkk cos t跃迁几率Pk k (t )t 22 Wk k ( ( k k04) / 2)跃迁速率wk k2 Dk k22 E 2 cos2( k k )如入射光为非偏振光， 光偏转的方向为完全无规的， 此时可把cos2换为它对空间各方向的平均值，此时wk k2 2E2 Dk k 0 ( k k )6非偏振自然光引起的跃迁速率，要对各成分奉献求和，从而有rk k2部分与分子的性质亲密相关；wk k4 2e23 22rk k( k k )八，自发辐射的 Einstein 理论由光的吸取的跃迁几率公式wk k4 2e23 22rk k( k k )|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.可以给出吸取系数的公式并且可证明受激辐射系数等于吸取系数；Bk k4 2 e23 22rk k2而对于自发辐射系数， Einstein 利用热平稳和统计物理的学问，与黑体辐射理论相结合，得到Akk4e2 33kkc3| rkk |九，散射现象的描述粒子通过介质时j (x)j (0)e x1. 散射的量子力学描述中心势作用下的 波函数在 r 处的渐近行为为eikzf ( )eikr r散射截面（又称微分截面或角分布）与散射振幅的关系( ) 1 dn ji d2f ( )总截面 t2 f (02) sin d ；2. 分波法为在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍运算方法；通过对中心力场中守恒量的分析，得出了入射波按守恒量的本征态绽开eikz r4 (2ll 01) i l12ikrei ( kr l 2)Y()ei ( kr l 2)l 0考虑到散射波函数eikzf ( )eikr r与上式形式上的相像性，可以求得中心力场中径向波函数的 l 分波的表达式Rl (kr ) ~4 ( 2l1)i ljl (kr )al h (kr ) 2l（入射波）（散射外行波）rl或|精.|品.|可.|编.|辑.|学.Rl (kr)4 (2l 1)i l (1a )ei ( kr l 2 ) e i (kr l 22ikr|习.|资.r|料.考虑到弹性散射中的几率守恒，有Rl ( kr)4 (2ll1) i l ei l sin(kr l 2 )这就为求解 l 分波的径向方程21 d 2r dr 2 kl（l 1） r 2U（r）Rl 0时 Rl 所应满意的边界条件；最终得出散射振幅，微分截面及总截面用各分波的相移 l 来表示的普遍表达式：f ( )12ik l(2l01)(ei l1) Pl (cos )2k2( ) 4 2ll 01ei lsinl Yl 0 ( )4t k 2(2ll 01) sin 2l3. 光学定理根据上面的第一式，且Pl (1)1 ，有Im f(0)1k l 0(2l21) sin l与式4t k 2(2ll 01) sin 2比较，得上式就为闻名的光学定理；l4t Imkf (0)它给出向前散射振幅f (0) 与总截面的关系；十， Lippman-Schwinger 方程|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.由 Green 函数的定义式可知，波函数( 2 k 2 )G(r , r )2(r ) 2 d3r G(r , r(r r ))V ( r ) ( r )为方程( 2 k2 )(r )2 V (r )( r )2的一个解；就散射问题归结为求解以下积分方程( r )eik ri ( r )2 d 3 r2sc (r )G(r , r)V ( r )(r )此方程就为 Lippman-Schwinger 方程；十一，散射问题的 Born 一级近似利用留数定理，可以求得eG(r r )ik r r4 r r从而有解(r )eik rd3r2 2ik r rer rV ( r )( r )这就为方程( 2 k2 )(r )2 V (r )( r )2满意边界条件(r ) reik rf ( ,eikr)r的散射问题的 Born 一级近似；当 r 时，sc(r ) reikr2 2 rd3ri ( kfek ) rV ( r )f ( , )d3 r e2 2iq r V (r )可挑选 q 方向为 z 轴方向，采纳球坐标系，从而得出|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.。