2021年全国统一高考数学试卷(北京卷).pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合| 11Axx，|02Bxx，则AB（）.A.1,2；B.( 1,2；C.0,1)；D.0,1.2. 在复平面内，复数z满足(1)2i z，则z（）.A.2i；B.2i；C. 1i ；D.1 i.3. 已知( )f x是定义在上0,1的函数，那么“函数( )f x在0,1上单调递增”是“函数( )f x在0,1上的最大值为(1)f”的（）.A. 充分而不必要条件；B. 必要而不充分条件；C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）.A.332；B. 4；C.33；D. 2.5. 双曲线2222:1xyCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）.A.2213yx；B.2213xy；C.22313yx；D.22313xy.6.na和nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）.A.64；B.128；C. 256 ；D.512.7. 函数( )coscos2f xxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）.A. 奇函数，最大值为2；B. 偶函数，最大值为2；C. 奇函数，最大值为98；D. 偶函数，最大值为98.8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度其中小雨（10mm） ，中雨（10mm25mm） ，大雨（25mm50mm） ，暴雨（50mm100mm） ，小明用一个圆锥形容器接了24 小时的雨水， 如图， 则这天降雨属于哪个等级（）.A. 小雨；B. 中雨；C. 大雨；D. 暴雨.9. 已知圆22:4C xy，直线:lykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m（）.A.2B.2C.3D.510.数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值为（）.A. 9；B. 10 ；C. 11 ；D. 12.二、填空题：5 小题，每小题 5 分，共 25 分11.341()xx展开式中常数项为_12.已知抛物线2:4Cyx， 焦点为F， 点M为抛物线C上的点，且6FM， 则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则FMNS_13.(2,1)a，(2, 1)b，(0,1)c，则()abc_；a b_14.若点(cos ,sin)P与点(cos(),sin()66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的_ 15.已知函数lg2fxxkx，给出下列四个结论：若0k，则( )f x 有两个零点；0k，使得( )f x 有一个零点；0k，使得( )f x 有三个零点；0k，使得( )f x 有三个零点以上正确结论得序号是_三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知 在ABC中，2 coscbB，23C（ 1）求 B 的大小；（ 2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度2cb；周长为42 3；面积为3 34ABCS；17.已知正方体1111ABCDA B C D，点E为11AD中点，直线11BC交平面CDE于点F（ 1）证明：点F为11B C的中点；（ 2）若点M为棱11A B上一点，且二面角MCFE的余弦值为53，求111AMA B的值18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合 1 检测法”， 即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100 人，已知其中 2 人感染病毒（ 1）若采用“10合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知 10 人分成一组， 分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X) ；（ 2） 若采用“5合 1 检测法”， 检测次数Y的期望为E(Y) ， 试比较E(X) 和E(Y) 的大小( 直接写出结果) 19.已知函数232xfxxa（ 1）若0a，求yfx在1,1f处切线方程；（ 2）若函数fx在1x处取得极值，求fx的单调区间，以及最大值和最小值20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)A，以四个顶点围成的四边形面积为4 5（ 1）求椭圆E的标准方程；（ 2） 过点0, 3P的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交3y于点M、N，直线AC交3y于点N，若15PMPN，求k的取值范围21.定义pR数列na：对实数p，满足：10ap，20ap；414,nnnNaa；,1m nmnmnaaap aap，,m nN（ 1）对于前 4 项 2， -2 ， 0，1 的数列，可以是2R数列吗？说明理由；（ 2）若na是0R数列，求5a的值；（ 3）是否存在p，使得存在pR数列na，对10,nnNSS ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案与试题解析第一部分（选择题共40 分）一、选择题： 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合| 11Axx，|02Bxx，则AB（）A.1,2B.( 1,2C.0,1)D.0,1【思路分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【解析】：由题意可得：| 12ABxx，即1,2AB. 故选：B.2. 在复平面内，复数z满足(1)2i z，则z（）A.2iB.2iC.1iD.1i【思路分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【解析】：由题意可得：2 12 1211112iiziiii. 故选：D.3. 已知( )f x是定义在上0,1的函数，那么“函数( )f x在0,1上单调递增”是“函数( )f x在0,1上的最大值为(1)f”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【思路分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【解析】：若函数fx在0,1上单调递增，则fx在0,1上的最大值为1f，若fx在0,1上的最大值为1f，比如213fxx，但213fxx在10,3为减函数，在1,13为增函数，故fx在0,1上的最大值为1f推不出fx在0,1上单调递增，故“函数fx在0,1上单调递增”是“fx在0,1上的最大值为1f”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332B. 4C.33D. 2【思路分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【解析】：根据三视图可得如图所示的几何体- 正三棱锥OABC，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为2133331 12242，故选： A.5. 双曲线2222:1xyCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213yxB.2213xyC.22313yxD.22313xy【思路分析】分析可得3ba，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【解析】：2cea，则2ca，223bcaa，则双曲线的方程为222213xyaa，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa，解得1a，故3b，因此，双曲线的方程为2213yx. 故选：A.6.na和nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）A.64B.128C.256D.512【思路分析】由已知条件求出5b的值，利用等差中项的性质可求得3b的值.【解析】：由已知条件可得5115aabb，则5 15196 19264288a bba，因此，1531926412822bbb.故选：B.7. 函数( )coscos2f xxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98D. 偶函数，最大值为98【思路分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【解析】：由题意，()coscos2coscos2fxxxxxfx，所以该函数为偶函数，又2219( )coscos22coscos12 cos48f xxxxxx，所以当1cos4x时，( )f x取最大值98.故选：D.8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度其中小雨（10mm） ，中雨（10mm25mm） ，大雨（25mm50mm） ，暴雨（50mm100mm） ，小明用一个圆锥形容器接了24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【思路分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【解析】：由题意，一个半径为200100 mm2的圆面内的降雨充满一个底面半径为20015050 mm2300，高为150 mm的圆锥，所以积水厚度22150150312.5 mm100d，属于中雨.故选：B.9. 已知圆22:4C xy，直线: lykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2， 则m（）A.2B.2C.3D.5【思路分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【解析】：由题可得圆心为0,0，半径为2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为22241mk，则当0k时，弦长取得最小值为22 42m，解得3m. 故选：C.10.数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【思路分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【解析】：若要使n尽可能的大，则1a，递增幅度要尽可能小，不妨设数列na是首项为3，公差为 1 的等差数列，其前n项和为nS，则2nan，1131311881002S，12314121021002S，所以n的最大值为11. 故选：C.二、填空题：5 小题，每小题 5 分，共 25 分11.341()xx展开式中常数项为_【解析】：试题分析：431xx的展开式的通项4312 41441C1C,rrrrrrrTxxx令3r得常数项为33441C4T.12.已知抛物线2:4Cyx，焦点为F，点M为抛物线C上的点， 且6FM，则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则FMNS_【思路分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【解析】：因为抛物线的方程为24yx，故2p且1,0F.因为6MF，62Mpx，解得5Mx，故2 5My，所以1512 54 52FMNS，故答案为：5，4 5.13.(2,1)a，(2, 1)b，(0,1)c，则()abc_；a b_【思路分析】根据坐标求出ab，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【解析】：(2,1),(2, 1),(0,1)abc，4,0ab，()400 10abc，22113a b. 故答案为：0； 3.14.若点(cos ,sin)P与点(cos(),sin()66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的_ 【思路分析】根据,P Q在单位圆上，可得,6关于y轴对称，得出2,6kkZ求解.【解析】：(cos ,sin)P与cos,sin66Q关于y轴对称，即,6关于y轴对称，2,6kkZ，则5,12kkZ，当0k时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ即可）.15.已知函数( )lg2f xxkx，给出下列四个结论：若0k，则( )f x 有两个零点；0k，使得( )f x 有一个零点；0k，使得( )f x 有三个零点；0k，使得( )f x 有三个零点以上正确结论得序号是_【思路分析】由0fx可得出lg2xkx，。