2019年湖南省高考数学试卷(理科)及解析17页.pdf

2019年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2019?湖南）复数z=i?（1+i ） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第 一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分） （2019?湖南）某校有男、女学生各500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽 签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法3 （ 5 分） （2019?湖南）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为a，b若 2asinB=b，则角 A 等于（）ABCD4 （5 分） （2019?湖南）若变量x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（）AB0CD5 （5 分） （2019?湖南）函数f（x） =2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（）A3B2C1D06 （5 分） （2019?湖南）已知， 是单位向量， 若向量满足， 则的取值范围为 （）ABCD7 （5 分） （2019?湖南）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD8 （5 分） （2019?湖南）在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC=4 ，点 P是边 AB 边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经 BC ，CA 反射后又回到点P（如图 1） ，若光线QR 经过 ABC 的重心，则AP 等于（）A2B1CD二、填空题：本大题共8 小题，考生作答7 小题，第小题5 分，共 35 分 （一）选做题（请考生在第9，10，11 三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12 16 题）9 （2019?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：， （ t 为参数）过椭圆C：（ 为参数）的右顶点，则常数a的值为_10 （5 分） （2019?湖南）已知a， b，c R，a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2的最小值为_11 （5 分） （2019?湖南）如图，在半径为的 O 中，弦 AB，CD 相交于点P，PA=PB=2 ，PD=1，则圆心 O 到弦CD 的距离为_12 （5 分） （2019?湖南）若，则常数T 的值为_13 （5 分） （2019?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_14（5 分）（2019?湖南）设 F1， F2是双曲线C：（a0， b0） 的两个焦点， P 是 C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2=30 的最小内角为30 ，则 C 的离心率为_15 （5 分） （2019?湖南）设Sn为数列 an 的前 n 项和，n N*，则（1）a3=_；第 2 页（2）S1+S2+ +S100=_16 （5 分） （2019?湖南）设函数f（ x）=ax+bxcx，其中 ca0，cb0（1）记集合 M= （a，b，c）|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（ a，b，c） M 所对应的f（x）的零点的取值集合为_（2）若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ?x （ ，1） ，f（x） 0； ?x R，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC 为钝角三角形，则?x （1，2） ，使 f（x）=0三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分） （ 2019?湖南）已知函数，（I）若 是第一象限角，且，求 g（ ）的值；（II）求使 f（ x） g（ x）成立的x 的取值集合18 （12 分） （ 2019?湖南）某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位： kg）与它的“ 相近 ” 作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过1 米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“ 相近 ” 的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望19（12 分）（ 2019?湖南）如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中， ADBC， BAD=90 ， AC BD， BC=1 ， AD=AA1=3（I）证明： ACB1D；（II）求直线B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值20 （13 分） （2019?湖南）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条 “ L 路径 ” 如图所示的路径MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“ L 路径 ” 某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy 内三点 A（ 3，20） ，B（ 10，0） ， C（ 14，0）处现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A 的“ L 路径 ” 长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O 为圆心，半径为1 的圆的内部是保护区，“ L 路径 ” 不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的 “ L 路径 ” 长度之和最小21 （13 分） （ 2019?湖南）过抛物线E： x2=2py（p0）的焦点F 作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且 k1+k2=2l1与 E 交于点 A，B，l2与 E 交于 C，D，以 AB ，CD 为直径的圆M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在直线记为l（I）若 k10，k2 0，证明：；（II）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为，求抛物线E 的方程22 （13 分） （ 2019?湖南）已知a0，函数（I）记 f（x）在区间 0，4上的最大值为g（a） ，求 g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数 y=f（ x）在区间（ 0， 4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由2019年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第 3 页1 （5 分） （2019?湖南）复数z=i?（1+i ） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第 一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点 ： 复数的代数表示法及其几何意义专题 ： 计算题分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案解答：解： z=i?（1+i） =1+i，故复数 z 对应的点为（1，1） ，在复平面的第二象限，故选 B点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题2 （5 分） （2019?湖南）某校有男、女学生各500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽 签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法考点 ： 分层抽样方法专题 ： 概率与统计分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1故拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选 D 点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题3 （ 5 分） （2019?湖南）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为a，b若 2asinB=b，则角 A 等于（）ABCD考点 ： 正弦定理专题 ： 计算题；解三角形分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A解答：解：在 ABC 中， 2asinB=b，由正弦定理=2R 得： 2sinAsinB=sinB， sinA=，又 ABC 为锐角三角形， A=故选 D点评：本题考查正弦定理，将“ 边 ” 化所对 “ 角” 的正弦是关键，属于基础题4 （5 分） （2019?湖南）若变量x，y 满足约束条件，则 x+2y 的最大值是（）AB0CD考点 ： 简单线性规划专题 ： 计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=，y=时， x+2y 取得最大值为第 4 页解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的 ABC 及其内部，其中A（， 1） ，B（，） ，C（2， 1）设 z=F（x， y）=x+2y ，将直线l：z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数z 达到最大值 z最大值=F（，）=故选： C 点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5 （5 分） （2019?湖南）函数f（x） =2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象的交点个数为（）A3B2C1D0考点 ： 根的存在性及根的个数判断专题 ： 函数的性质及应用分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案解答：解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx 的图象与函数g（x）=x24x+5 的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2 个交点故选 B点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案6 （5 分） （2019?湖南）已知， 是单位向量， 若向量满足， 则的取值范围为 （）ABCD第 5 页考点 ： 等差数列；平面向量数量积的运算专题 ： 平面向量及应用分析：令，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值解答：解：令，如下图所示：则，又，所以点C 在以点 D 为圆心、半径为1 的圆上，易知点 C 与 O、 D 共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为 1，+1故选 A点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具7 （5 分） （2019?湖南）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD考点 ： 简单空间图形的三视图专题 ： 计算题分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知： A，B，D 皆有可能，而1，故 C 不可能故选 C点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键8 （5 分） （2019?湖南）在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC=4 ，点 P是边 AB 边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经 BC ，CA 反射后又回到点P（如图 1） ，若光线QR 经过 ABC 的重心，则AP 等于（）A2B1CD考点 ： 与直线关于点、直线对称的直线方程专题 ： 直线与圆分析：建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P1的坐标，和P 关于 y 轴的对称点P2的坐标，由 P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过 ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP 的值解答：解：建立如图所示的坐标系：可得 B（4，0） ，C（0， 4） ，故直线BC 的方程为x+y=4 ， ABC 的重心为（，） ，设 P（a，0） ，其中 。