数值分析7教材.ppt

第四章 插值法（interpolation） 4.1 问题提出 对原函数，其本身表达式过于复杂，我们只知道有限个 点的函数值 ,需要寻找一个简单的函数 近似地表示原函数，且满足这些给定的数值点 4.1.1 插值概念 定义：设函数 f(x)在区间[a,b]上有意义, 且已知 的值为 , 若存在一个简单 (1) 成立，则称 为 f(x)的插值函数其中 为插值节点，[a,b]为插值区间， f(x)为被插值函数， 式(1)为插值条件. 函数 ,使得 几何意义：用线性、抛物线等简单函数近似表示原函数 插值函数类的选取: 代数多项式(多次式插值)，三角多项式，有理多项式等 最简单的插值多项式: 使得: 有n+1个未知数，n+1个方程求解 4.1.2 插值多项式的存在唯一性 求未知数： 其系数行列式为 范德蒙行列式 ( Vandermonde) 例如n=2时， 有唯一解 利用 (克莱姆法则求解) 特殊情况： n=0时，即过一点 可知 插值函数为过的直线. n=1时, 即为过 两点的直线 4.2 拉格朗日插值（Lagrange ） 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可 改用构造方法来插值。

对节点中任一点 , 作一n 次多项式 ，使它在该点上取值为1， 上为0，即 则插值多项式为: 而在其余点 构造过程： 上式表明：n 个点都是 其中 为待定系数 ∵ (i=k时) ∴ ∴ n次拉格朗日插值多项式为： 的零点 常用的拉格朗日插值多项式： n=1时，称为线性插值， n=2时，称为二次插值或抛物线插值， 例题：已知 用线性插值 的近似值 和抛物线插值计算 解：首先是线性插值： 节点为: ∴ 抛物线插值： 精确值为 , 抛物线精度相对高些. 4.3 插值余项 区间[a,b]上使用插值多项式近似f(x), 节点 上没有误差，其它点上一般存在误差，记 称为近似代替的截断误差，也称为 的插值余项. 可由下面定理来估计 定理：设f(x)在区间[a,b]上有直到n+1阶导数， 为互不相同的节点， 为满足的n次插值 其中 ，且与x有关 除了在 多项式，则对任何 有: 证明：考虑插值节点上有 ∴ 这些节点是 的零点, 可设 ① 其中 为待定函数（与x有关），需确定 . 对 分析知： 当 时，①式左边=右边=0， 此时 可为任意函数。

当 时，为 ∴ 为了计算 ，引入函数(并且变量用t表示) 可使①式成立. ② 可知 至少有n+2个零点： . 由罗尔定理知: 在 的两个相邻零点间至少有一个零点 ∴ 至少有n+1个零点，以此类推， 至少有一个零点，即 对②关于 t 求n+1阶导数： ( 为n次多项式）， 因为 所以 注意： ，即使得 2.该定理中，当f (x)具有（n+1）阶导数才可使用且 在求误差时，利用 求得，即 例：前面例子中，求线性插值和抛物线插值在 处的误差限 1.若f (x)本身为不超过n次多项式，则一定可构造出 即 解：线性插值： 抛物线插值： 4.4 带导数插值条件的插值 利用拉格朗日插值和待定系数法求导数插值条件的插值， 一阶导数在几何图形中具有几何意义， （例如参数曲线中的切矢量，包括切线方向和模长） 如何构造，通过下例说明： 例：已知节点上函数值 和 处的导数值 , 构造一个次数不超过3的多项式 ,要求满足： 且 解：对 三节点，可先构造二次拉格朗日插值 令 其中 为不超过3次的多项式 因为 是 和 的零点, 即 也是 的3个零点, 可设 A 为待定系数 （1） 通过计算知， 且 利用(1)式可求出A, 从而得到 所以 注意：（1）也可直接设 A为待定系数，利用导数条件，求出A， 一般情况下 也有可能为二次多项式， 原来方法更加准确。

（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x) 易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点, ∴ R(x)可写为 R(x)=K(x)(x－x0)( x－x1)2(x－x2) ① 其中K(x)待定函数 可知：当x=x0, x1, x2时，K(x)可取任意数， 式①都成立（此时左=右=0） 但求出的 通常为3次多项式或为0， 当x≠x0,x1,x2时， ∴引入辅助函数 K(x)(x－x0)(x－x1)2(x－x2) 可知在插值区间内有5个零点： x0, x1(二重), x2, x 反复应用罗尔定理知： 在区间内至少有一个零点， (∵ ) ∴ ∴插值余项为R(x) = 在插值区间内与x有关. 所以 若K(x)为R(x)/(x－x0)(x－x1)2(x－x2) 式①也成立 记为ξ, 4.5 埃尔米特插值（Hermite） 有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求 H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n H2n＋1(x)为次数不超过2n＋1的插值多项式 该问题即为埃尔米特插值. 这里只讨论如何构造三次Hermite插值. 4.5.1 Hermite插值 问题：在[x0,x1]上寻找一个次数不多于3的多项式H(x)， 满足 H(x0)=f (x0); H’(x0)=f ’(x0); H(x1)=f (x1) ; H’(x1)=f ’(x1) (1) 根据条件①可知： 具体构造： 可设 由第一列知x1是 的二重根； ∵为三次多项式, ∴可设 由求出a，b后化简得 ( 其中h= x1－x0 ) 同理可求出： 4.6 牛顿插值多项式 问题提出：拉格朗日插值方法中，若增加一个节点数据， 其插值的多项式需重新计算。

现设构造一个插值多项式Nn(x)，只需对Nn-1(x)作简单修 正(如增加某项)即可得到，这样计算方便 由线性代数知，对任何一个不高n次的多项式 P(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bnxn (幂基) 也可将其写成 P(x)=a0＋a1(x－x0)＋a2(x－x0) (x－x1)＋…＋an(x－x0) …(x－xn-1) 其中为系数，为给定节点，可由①求出 对牛顿插值多项式可将其写成： 只需求出系数，即可得到插值多项式 ① 先讨论等距节点下插值公式： 4.6.1差分等距节点下插值公式 对等距节点可写成 , h称为步长 定义：设Y(x)在处的函数值分别为 , 称为f (x)在 处以步长为h的一阶向前差分 类似的称： 为f (x)在 处步长为h的m阶向前差分 有了差分定义,可用来计算系数 对一般的n次插值多项式, 可设 ∵通过节点 ∴可得 ∵通过对节 点 ∴ 一般的，由 又因为通过节点 , 有 ∴ 注意到 ∴上式也可以写为： 余项公式可写为： 即 所以, 当插值节点有n+1个时，可得到 此时 也可写成： 由 可得： (其中令 ) 该式称为牛顿向后插值公式，余项可写成： 牛顿向前差分公式也可改为向后差分公式，定义 一阶向后差分： m阶向后差分： 。