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标准中级奥数教程复杂逻辑推理问题【知识要点和基本方法】1.逻辑推理问题在近年来的许多竞赛试题中，常常会见到这样的一类题目，没有或很少给出什么数量关系；他们的解决方法主要不是依靠数学概念、法则、 公式进行运算，较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答 案，这就是逻辑推理问题（详见例题）2．逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性命且没有一定的解题模式因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终抱 地灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律 同一律、矛盾律和排中律1）“矛盾律”制的是在逻辑推理过程中，对同一结论的推理不能自相矛盾2）“排中律”值的是在逻辑推理过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真或为假，不能既不真也不假3）“同一律”指的是在逻辑推理过程中，同一对象的内涵必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使 用，不许偷换3. 逻辑推理问题拮据的方法一般有：（1）列表画图法2）假设推理法3）枚举筛选法 下面将通过例题来学习上述提出的三个规律和三种解决逻辑推理的方法例题精讲】（一）列表画图法例 1 一次网球邀请赛，来自湖北，广西，江苏，北京，上海的五名运动员相遇在一起，据了解：（1）王平仅与另外两名运动员比赛过；（2）上海运动员和另外三名运动员比赛过；（3）李兵没有和广西运动员比赛过；（4）江苏运动员和凌华比赛过；（5）广西，江苏，北京的三名运动员相互之间都比赛过；（6）赵林仅与一名运动员比赛过。

问：张俊是哪个省市的运动员？ 分析：“赵林仅与一名运动员比赛过”，说明赵林只比赛过1场，由（2）、（5）可得知上海、广西、江苏、北京运动员至少都比赛过2 场或 以上，赵林只能是湖北运动员；由（3）、（5）知李兵不是广西运动员，也不是江苏、北京运动员，李兵只能是上海运动员；又由（2）、（3）、 （6）知，赵林（湖北）与李兵（上海）比赛过，李兵（上海）与赵林（湖北）、江苏、北京运动员比赛过，可以知道王平肯定是广西运动 员；由（4）知凌华不是江苏运动员，只能是北京运动员（如下表）；据此采用列表法如下（用“X”表示否定，用“丿”表示肯定）：湖北广西江苏北京上海王平XX李兵XXXXV凌华XX赵林VXXXX张俊XX例2.A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现A、B、C、D比赛过的场次分别是 4、3、2、1问这时E队赛过几场？ E队和那几个队赛过？分析：用平面上的点表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，用两点连线表示；没有比赛过，则不连线，据此画出图9 — 1,其理由如 下：A赛过4场，A与B、C、D、E均连线；B赛过三场，除与A赛过，还赛过2场，因为D只赛过1场（和A队赛），因此B只能和C、 D赛过；这样正好符合C赛过2场，D赛过1场。

可以看出这时E队和A、B两队赛过说明 用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的另一个重要手段用点表示所研究的对象，用连线表示对象之间的某种关系充 分利用图形的直观性，便于说明问题二）假设推理法例 3 有四人打桥牌（牌中不含大、小王牌，每人共13张牌），已知某一人手中的牌如下：① 红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；② 各种花色的牌，张数不同；③ 红桃和黑桃合起来共6张；④ 红桃和方块和起来有5张；⑤ 有两张主牌（将牌）试问这手牌以什么花色为主牌？解 由于主牌不外乎四种花色之一，因此可以采用假设法先假设红桃为主牌依题意，红桃为两张，则黑桃为4张，方块为3张一共有13张牌，梅花只能为4张，与黑桃张数相同，矛盾 其次架设方块为主牌依题意，方块为两张，则红桃为3张，黑桃也为3张，矛盾再假设梅花为主牌因为主牌为两张，所以黑桃、红桃，方块应总共为11张，但根据条件③、④知，这三种花色的总和应少于11张， 又出现矛盾所以只能是黑桃为主牌，此时红桃4张，方块1张，梅花6张说明 推理的方法很多，如果题目中所涉及的情况只有有限种，我们可以先假设一个前提正确，以此为起点，如果推理导致矛盾，说明假 设的前提不正确，再重新提出一个假设，直至得到符合要求的结论为此。

这种方法叫做“假设推理法”或“假设淘汰法”这就是例4所 用的方法例 4.在一所公寓里有一人被杀害了，在现场共有甲、乙、丙三人已知这三人中，一个是主犯，一个是从犯，一个与案件无关，警察从现 场的人的口中得到下列证词：① 甲不是主犯；② 乙不是从犯；③ 丙不是与案犯无关的人这三条证词中，提到的名字都不是说话者本人，三条证词不一定分别出自三人之口，但至少有一条是与案件无关的人讲的，经过调查证实， 只有与案件无关的人说真话，问主犯是谁？解 由于“证词中提到的名字都不是说话者本人”，因此这三条证词至少出自两人之口又由“只有与案件无关的人说了实话”，所以这三 条证词中至少有一条是与案件 无关的人讲的真话下面我们先对“只有一条是与案件无关的人讲的真话”进行假设假设①是真，②、③是假话，则甲与丙都是与案件无关的人，或者甲与乙都是从犯，这与已知矛盾假设②是真话，①、③是假话，同上面情况类似，仍与已知矛盾假设③是真话，①、②是假话，则三人全是罪犯，也与已知矛盾这说明三条证词中应有两条是与案件无关的人讲的真话假设①是假话，②、③是真话，则②、③应出自与案件无关的人甲之口，但①是假话，又推出甲是主犯，矛盾假设②是假话，①、③是真话，其结果与前一假设类似，仍然矛盾。

所以只有③是假话，①、②是真话此时可知：丙是与案件无关的人，甲是从犯，乙是主犯说明 “假设推理法”特别对解决“真假话”问题尤为有效当然用假设推理法解决问题，不仅限于上面的几种情况，请看下面的例题例5•在一次战役中，甲方俘虏了乙方10 0名官兵，一天甲方告知乙方的10 0名俘虏：明天会以一种特别的方式释放这10 0名俘虏 中的一些人，这10 0名俘虏将被排成一列，他们的头上将随机的被戴上一顶黑色或白色的帽子每个人都只能看见前面所有人的帽子的 颜色，但不能看到后面及自己头上帽子的颜色甲方军官将从队伍最后一个人开始逐一询问同样一个问题：“请说出泥头上帽子的颜色”，如果回答正确，该俘虏将无条件获得释放，如果 回答错误将被终身监禁当然，每一个俘虏除能看到前面所有人的帽子颜色外，他还可以听到后面俘虏所回答的帽子颜色（最后一名俘虏 除外）作为这100名俘虏的指挥官将设计一个最好的策略告诉他的部下，在明天的“测试”中，使尽可能多的同伴获得释放 请问：被虏方的指挥官将设计一个什么样的策略，使尽可能多的同伴（俘虏）获得释放，最多能释放多少个俘虏？ 分析10 0名俘虏全部被释放是不可能的，因为第一位被询问者，他的全部信息时看到前面9 9名俘虏头上帽子的颜色，据此，他无法 确定他头上帽子的颜色。

黑色或白色）但从倒数第二人开始，他们所获得的信息比最后一人的信息多了一条，即除能看清前面所有人头 上的帽子颜色外，还会听到后面同伴所报出的自己头上帽子的颜色如果有一种策略，确保后面同伴所报帽子颜色是正确的话，那么，这 种策略对该人应能确保它所报自己头上帽子颜色的正确性非常可喜地，聪明的指挥官想出了这样一个“释放”策略，使除最后一人（即 第一个被询问者）外，其余所有的俘虏，运用这个策略，均能准确地推出自己头上帽子颜色这样，除第一个被询问者（即排在排尾的人） 外其余的人都能获释：共99人获释说来十分奇妙，这个策略只是建立在一个十分简单的互相之间的“约定”之上解 排在最后的一名俘虏（即第一个被询问者－——绝顶聪明而又富于自我牺牲精神的军官）可以看到前面99人头上所戴帽子的颜色， 由于99是奇数，它是两种不同颜色帽子数的和，因此，必有一色帽子数为奇数（例如白色），那么，这个约定就是：第一位被询问者就 报他所看到的该色帽子数为奇数的颜色（即为白色）这个约定每一位被俘者人人皆知那么，只要依照这个约定，除最后一位军官外其 余的人（从第1位到第9 9位）均能准确推出自己头上帽子的颜色不妨假设最后一位军官所报自己头上帽子颜色为“白色”（注意：这意味着，他所看到前面9 9个同伴头上白色帽子总数为奇数），于 是第99位俘虏依共同约定可以这样分析：1•若他（第9 9位俘虏）所看到前面9 8人头上白色帽子数是奇数，那么，他自己头上帽子颜色不会是白色（因为奇数+1=偶数） 否则，第10 0位俘虏所看到的白色帽子数为偶数（二奇数+1）,按规则他不应报“白色”，而应该报“黑色”！2•若他（第99位俘虏）所看到的前面98人头上白色帽子数是偶数，依据他后面的军官（第100位）所报的“白色”，按约定知，自 己头上所戴帽子颜色应该为白色！进而考虑第 98 位俘虏的报色。

3•若第98位俘虏听到第99位俘虏报“黑色”（自然也听到第100位报“白色”），他将观察他所看到的前面97人中白色帽子的奇偶性: 若白色帽子数为奇数，则他头上所戴帽子颜色应为黑色，而不是白色（否则第100位俘虏所见白帽数为偶数）；若所见白帽数为偶数， 则第98位应报“白色”（理由同学们细想一想，为什么？）4•若第98位俘虏听到第99位俘虏报“白色”此时，他观察前97人白帽子数的奇偶性：若他所见白帽数为奇数，而他后面的第99 位报的是“白色”，因为第100位报“白色”，因此，他应报“白色”；若他所见到前面97人中白帽数为偶数，依据同样推算，第98 位此时应报“黑色”依此类推，第97位，第96位、…、第1位，均可依据他们各自所听到后面的报色情况及所见到的前面同伴头上白帽数的奇偶性准 确推断出自己头上帽子的颜色！ 这样，除了排在最后一位被俘者（军官）实在无法确定自己头上帽子颜色外（虽然，他的判断正确概率有50%），其余在他前面的 99 位同伴，都可按照他所制订的“约定”全部获释！（三）枚举筛选法例6 桌上放了8张背向上的扑克牌，牌放置的位置如图9-2所示现已知：① 每张牌都是 A、 K 、 Q 、 J 中的某一张；② 这 8 张牌中至少有一张 Q；③ A只有一张；④ 所有的Q都夹在两张K之间；⑤ 至少有一张K夹在两张J之间；⑥ 至少有两张 K 相邻；⑦ J与Q互补相邻，A与K也互不相邻。

你知道这8张牌个是什么牌吗？解 为了便于说明8张牌的位置，我们将其编号，如图9-3,根据条件②、④，Q的位置有4种可能：（1）3和6同时为Q； （2） 3为Q； （3） 6为Q； （4） 4位Q下面分别对这4种情况进行讨论：（1） 3和6同时为Q则2、4、5、7或2、4、8为K，但这两种情况都不能满足条件⑤，排除2） 3为Q则2、4为K,由条件⑦，A只能在5、7、8的位置上，且6不能为K，又由条件⑥，则1必须是K，同样不能满足条件⑤，排 除3） 6为Q，则4、8或5、7为K，若4、8为K，不能满足条件⑤，若5、7为K，不能满足条件⑤，若5、7为K，由条件⑥，3必须为K， 则2、4应为J （条件⑤），但这与条件⑦不符，排除4） 只能4为Q，此时1、6为K，5、7为J，8为K现只剩下2、3个位置，根据要求可知，3为A，2为J.说明 这里为了解决问题的方便，把问题分为不重复，不遗漏的有限种情况然后对各种情况一一枚举，逐个检验，淘汰非解，最终达到 解决整个问题的目的这就是教学中经常用到的“枚举筛选法”下面的例题又是“枚举筛选法”下面的例题又是“枚举筛选法”的一个 应用题例7 某个家庭先有四个家庭成员。