2015矩阵论试题参考答案.pdf

中南大学 2015 年秋季硕士研究生 《矩阵论》期末考试试题参考答案 一、(18 分)已知矩阵A相似于 200000 021000 002000 000110 000011 000001      −   −   −  . (1) 求A的初等因子、不变因子和最小多项式； (2) 求 3 ()tr AI+； (3) 判断A是否为收敛矩阵. 解解 (1) 200000 021000 002000 000110 000011 000001      −   −   −  的初等因子为 23 2, (2) , (1)λλλ−−+. 因为相似的矩 阵有相同的初等因子, 故A的初等因子也是 23 2, (2) , (1)λλλ−−+, 从而可得A的不变 因子为 23 123 ( )1,( )2,( )(2) (1)dddλλλλλλ==−=−+, 最小多项式( ) A mλ为A的最后 一个不变因子，即 23 ( )(2) (1) A mλλλ=−+. (2) 因 为A的 特 征 值 为2, 2, 2,1,1,1−−−, 故 3 AI+的 特 征 值 为 333333 21, 21, 21, ( 1)1, ( 1)1, ( 1)1+++−+−+−+, 即9,9,9, 0, 0, 0, 从而 3 ()27tr AI+=. (3) 因为谱半径为特征值的模的最大者, 故A的谱半径为( )2Aρ=. 而A为收敛矩 阵的充要条件是( )1Aρ, ||||0x ∞ , 从而 22 2 ||||||||||||0xxx ∞ =+. ii) 对于Cλ∈, 222222 22 |||||||||||||||||||||||||| ||||xxxxxxλλλλλλ ∞∞ =+=⋅+⋅=⋅. iii) 对任何,Cnx y∈, 2 2222 222 ||||||||(|||||| )|(|||||| )xyxyxyxyxy ∞∞∞ +=+++≤+++ 2222 2222 ||||2|||| ||||||||||||2|||| ||||||||xxyyxxyy ∞∞∞∞ ≤+++++ 2222 2222 (|||||||| )(|||||||| )2|||| ||||2|||| ||||xxyyxyxy ∞∞∞∞ ≤+++++ 22222 2222 (|||||||| )(|||||||| )2 (|||| |||||||| |||| )xxyyxyxy ∞∞∞∞ =+++++ 22222222 222222 (|||||||| )(|||||||| )2 |||| |||||||| ||||2|||| |||| |||| ||||xxyyxyxyxyxy ∞∞∞∞∞∞ =++++++ 222222222222 222222 (|||||||| )(|||||||| )2 |||| |||||||| |||||||| |||||||| ||||xxyyxyxyxyxy ∞∞∞∞∞∞ ≤+++++++ 22222222 2222 (|||||||| )(|||||||| )2 (|||||||| )(|||||||| )xxyyxxyy ∞∞∞∞ =++++++ 22222 22 ( |||||||||||||||| )xxyy ∞∞ =+++ 2 (||||||||) ,xy=+ 开方得 |||| ||||||||xyxy+≤+. 综上知||||x是Cn上的向量范数. (2) 设 12 ( ,,,)T n xx xx=, 则 1 11 1 2 2 11 1 ||||max || ||||||max |||||| , ||||max || ||||||max |||||| , n iii i ni n i n iii i ni n i xxxxnxnx xxxxnxnx ∞∞ ≤ ≤≤ ≤ = ∞∞ ≤ ≤≤ ≤ = =≤=≤= =≤=≤= ∑ ∑ 从而 211 1 |||||||||||| ,|||||||||||| ,xxnxxxx n ∞∞∞ ≤≤≤≤ 222 12 2 1 2 ||||2 ||||2|||||||||||||||| (1)||||1||||1|||| , xxxxxx n nxnxnx ∞∞∞ ∞∞ ≤=≤=+ ≤+≤+≤+ 即 11 2 |||| ||||1|||| ,xxnx n ≤≤+ 于是 12 2 ,1ccn n ==+. 三、(16 分) (1) 设 123 ( ,,)Taa aa=是给定的向量, 3 3 () ij Xx × =是矩阵变量, 求 d () d T Xa X . (2) 设 110 311 021 A   = −−    , 求sin() A eIA−. 解解 (1) 1 112 123 13 121222323 1 31232333 , a xa xa x Xaa xa xa x a xa xa x ++  =++   ++  1 112 123 131212223231 31232333 ()(,,) T Xaa xa xa xa xa xa xa xa xa x=++++++, 111213 212223 313233 ()()() d ()()()() d ()()() TTT TTTT TTT XaXaXa xxx XaXaXaXa Xxxx XaXaXa xxx ∂∂∂  ∂∂∂   ∂∂∂ =   ∂∂∂   ∂∂∂   ∂∂∂  123 123 123 000000 000000 000000 aaa aaa aaa   =    . (2) A的特征多项式为 2 110 ( ) ||311(1) 021 EA λ ψ λλλλλ λ −− =−=+−=− −− ． 设 2 ( )sin(1)( ) ( )fegabc λ λλλ ψ λλλ=−=+++． 将0λ=, 1λ=分别代入上式得(0),(1)fcfabc==++. 再在上式两边求导后将 0λ=代入得(0)fb′=. 于是得到方程组 sin1, 0, sin1cos1, c abc b =  =++   −=  解得2sin1cos1, sin1cos1,sin1abc= −+=−=. 再由 Hamilton-Cayley 定理知, ( )0Aψ=, 于是, 22 2 sin()( )( ) ( ) ( 2sin1cos1)(sin1cos1)(sin1) 201110100 ( 2sin1cos1)000(sin1cos1)311(sin1) 010 603021001 6sin1 3cos1sin1cos12si A eIAf Ag AAaAbAcIaAbAcI AAI ψ−==+++=++ = −++−+ −  = −++−−−+   −  −−− = n1cos1 3sin13cos1cos1sin1cos1. 12sin16cos12sin12cos14sin12cos1 +  −+−   −−−+  也可令 2 1111 ( ) ( )egabc λ λ ψ λλλ=+++, 按上面的方法求得 1 2, 1aebc=−===, 得到 2 111 201110100 (2)000311010 603021001 6212 301. 126234 A ea Ab Ac I e ee ee =++ −  =−+ −−+   −  −−  =−   −−  , 令 2 2222 sin(1)( ) ( )gabcλλ ψ λλλ−=+++, 解得 2 sin1cos1, cos1,sin1,abc= −+= −= 进而求得 2 222 sin() 201110100 ( sin1cos1)000(cos1)311(sin1) 010 603021001 3sin1 3cos1cos1sin1cos1 3cos1sin1cos1cos1. 6sin16cos12cos12sin12cos1 IAa Ab Ac I−=++ −  = −+−−−+   −  −−−+  =+−   −−−+  , 四、(14 分) 求 100 001 101 A   =    的奇异值分解. 解解 201 000 102 T A A   =    , 201 ||00(1)(3) 102 T IA A λ λλλ λλ λ −− −==−− −− , 故 T A A 的特征值为 123 3,1,0λλλ===, 对应的特征向量依次为 123 110 0 ,0,1 110 ppp −      ===          . 故酉矩阵 11 0 22 001 11 0 22 V  −   =       , 使得 300 ()010 000 TT VA A V   =    . 令 1 11 11 11 62 1001 22 0 11 001003 62 0110111 2 0 22 6 UAV −  −  −       =Σ==           , 取 2 1 6 1 6 2 6 U     =    −   , 12 111 626 111 (,) 626 22 0 66 UU U  −    ==    −   , 则U是酉矩阵, A的奇异值分 解为 11111 0 62622 300 0 11111 0100 0062622 000 01022 0 66 H AUV  −    Σ  ==−        −   . 五、 （16 分）设 11 22 11 3 22 13 5 24 i A     =      （其中1i =−）的特征值为 123 ,,λ λλ. (1) 利用 Gerschgorin 定理隔离 123 ,,λ λλ，并给出它们的分布区域； (2) 证明： 123 2547 |||||| 44 λλλ≤++≤. 解解 (1) A的三个盖尔圆为： 1: 1Gzi−≤, 2: 31Gz −≤, 3 5 :5 4 Gz −≤, 故A的三个特 征值分布在 123 GGGGG内. 由于 1 G是孤立的盖尔圆, 根据 Gerschgorin 定理知, 1 G中有A的一个特征值, 设为 1 λ. 2 G和 3 G相交. 选取(2,1,1)Ddiag=, 令 1 11 11 3 42 13 5 44 i BDAD−     ==     . 则B与A相似, 从 而有相同的特征值. B的三个盖尔圆为： 1: 2Gzi′−≤, 2 3 :3 4 Gz′−≤, 3: 51Gz′−≤. 易见, 123 ,,G GG′′′互不相交, 故 123 ,,G GG′′′中各有A的一个特征值, 设位于 23 ,GG′′中的特征 值依次为 23 ,λλ. 由于 1 G的半径小于 1 G′的半径, 故可知, 123 ,,λ λλ分别位于盖尔圆 1 G, 2 G′ 和 3 G′ 中. (2) 由(1)。