冲刺2021届高考数学二轮提升专题23矩阵与变换(原卷版).docx

专题23 矩阵与变换1、（2019年江苏卷）已知矩阵 （1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．3、（2017江苏卷）已知矩阵A＝，B＝.(1) 求AB；(2) 若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．4、(2016年江苏卷)已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.5、(2015年江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．一、 二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如，，这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a11　a12]＝[a11b11＋a12b21]；② ＝.二、. 几种常见的平面变换(1) 当M＝时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4) 当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．三、 线性变换的基本性质(1) 设向量α＝，则λα＝.(2) 设向量α＝，β＝，则α＋β＝.(3) A是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A(λα)＝λAα，A(α＋β)＝Aα＋Aβ.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．四、 二阶矩阵的乘法(1) A＝，B＝，则AB＝(2) 矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)．几种特殊的变换反射变换：M＝：点的变换为(x，y)→(x，－y)，变换前后关于x轴对称；M＝：点的变换为(x，y)→(－x，y)，变换前后关于y轴对称；M＝：点的变换为(x，y)→(－x，－y)，变换前后关于原点对称；M＝：点的变换为(x，y)→(y，x)，变换前后关于直线y＝x对称．投影变换：M＝：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)→(x，0)；M＝：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)→(0，y)；M＝：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(x，x)；M＝：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(y，y)；M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→.五、 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.(3) 利用行列式解二元一次方程组．2. 特征值与特征向量(1) 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。

题型一、由矩阵变换求曲线的方程由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得，要分布设变换前与变换后的点坐标，用变换后的坐标变式变换前的坐标，然后代入变换前的方程即可例1、(2019宿迁市直学校期末） 已知矩阵M＝的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α＝，求直线l1：x＋2y＋1＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线l2的方程．例2、(2016南京三模） 已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程. 例3、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到直线y＝2x＋1，求曲线C的方程．题型二 矩阵的特征值与特征向量求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸先求特征值然后再求特征向量例4、(2019 南京三模）已知矩阵M＝(1) 求M2；(2) 求矩阵M的特征值和特征向量．例5.(2018南通、泰州一调）已知x∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A－1.例6、(2016苏州暑假测试）求矩阵M＝的特征值和特征向量．题型三 矩阵运算及逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.(3) 利用行列式解二元一次方程组．例7、(2019 苏锡常镇调查）已知矩阵A＝，其逆矩阵A－1＝，求A2.例8、(2018苏州期末）已知矩阵M＝，向量β＝，求M4β..例9、(2018扬州期末）下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.1、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）直线l：2x－y－3＝0在矩阵M＝所对应的变换TM下得到直线l′，求l′的方程．2、(2018南京三模）已知矩阵A＝，B＝，若直线l：x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．3、(2018苏北四市二模）已知矩阵A＝，B＝，C＝AB.(1) 求矩阵C；(2) 若直线l1：x＋y＝0在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l2，求l2的方程． 4、(2017南京学情调研）已知矩阵A＝，B＝，设M＝AB.(1) 求矩阵M ；(2) 求矩阵M的特征值．5、(2017苏州暑假测试）已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.6、(2017苏锡常镇调研）已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1) 求矩阵M；(2) 求矩阵M的另一个特征值．7、(2018南京学情调研）设二阶矩阵A＝.(1) 求A－1；(2) 若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C′：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．8、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1,2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3,4)绕点A′逆时针旋转90得到点B′，求点B′的坐标．9、(2017扬州期末） 已知a，b∈R，若点M(1，－2)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(2，－7)，求矩阵A的特征值．10、(2018镇江期末）已知矩阵M＝，其中a，b均为实数，若点A(3，－1)在矩阵M的变换作用下得到点B(3，5)，求矩阵M的特征值．11、(2017南京、盐城二模）设a，b∈R，若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝ 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0，求实数a，b的值． 12、(2018无锡期末）已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2的一个特征向量为α2＝.求矩阵A.。