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复变函数总复习复变函数总复习第一章：复数与复变函数第一章：复数与复变函数v复数的概念v复数的运算v复数的几何表示1、复平面 1）复数　　　　用平面上的点　　表示；2）复数　　　　用平面上的向量 表示3）复数的三角表示式及指数表示式 （三角式） （指数式）2、复球面 复数可以用复球面上的点表示 扩充复平面v复数的乘幂与方根1、积与商设 ，则4例例1 1求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解5化简后得化简后得6例例2 2 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)7解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆.第二章：解析函数第二章：解析函数v复变函数的导数与微分v解析函数的概念 如果 在点 及 的邻域内处处可导，称在 点解析。

如果 在区域D内每一点解析，称 在D内解析，或称 是D内的解析函数（全纯函数或正则函数）如果 在不解析，称 为 的奇点两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数v复变函数连续、可导、解析之间的关系 在 解析 在 可导 在 连续 在区域D内解析 在区域D内可导v函数可导与解析的充要条件 定理1 设函数 定义在区 域D内，则 在D内点 可导 与 在点 可微，且满足柯西-黎曼方程 函数 在点 处的导数公式： 定理2 设函数 在区域D内有定义，则 在D内解析 与在D内可微，且满足柯西-黎曼方程 复变函数可导与解析的判别方法（1）利用可导与解析的定义及运算法则（2）利用可导与解析的充要条件v初等函数1、指数函数性质：（1） ，（2）对任意的 ，有加法定理（3） 是以 为周期的周期函数（4） 在复平面上处处解析，且132 三角函数14(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义3、对数函数 主值分支 对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的复平面内处处解析，且4、幂函数 为复数 当 为正整数 及分数 时， 就是 的次乘幂及 次根，此时幂函数 分别为单值函数和 值函数。

一般来说，幂函数 是一个多值函数当定义中对数函数取主值时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是解析的，且18证证1920例例4 4 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.21例例5证证22参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:23例例6 6 解方程解方程解解例例7解解例例8 8解解第三章：复变函数的积分第三章：复变函数的积分v复积分的定义v复积分存在的条件　　设函数　　　　　　　　　在区域Ｄ内连续，曲线Ｃ光滑，则复积分存在，且v复积分的性质１、２、３、４、　曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足v复积分计算的一般方法　　设　　沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程为　　　　　　　　，其中起点为　　，终点为　　，则33 1 柯西－古萨基本定理柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理柯西积分定理)复积分的基本定理２、复合闭路定理　　设Ｃ为多连通区域Ｄ内的一条简单闭曲线，　　　　为Ｃ内的简单闭曲线，它们互不包含又互不相交，并且以　　　　　为边界的区域全部属于Ｄ，如果　　在Ｄ内解析，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中　与　均取正向　　　　　　　其中　是由　与　　组成的复合闭路３、牛顿－莱不尼茨公式　　设函数　　在单连通区域Ｄ内解析，　　为　　的一个原函数，则364 柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.37 5 高阶导数公式386 调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部和虚部都它的实部和虚部都是是 D 内的调和函数内的调和函数.39定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数. . 2)共轭调和函数３）由调和函数　　　（或　　　）确定另一个调和函数或解析函数　　　　　的方法：＊偏微分法：从柯西－黎曼方程出发，解简单的一阶微分方程。

＊不定积分法：从　　　　　　出发，将其写成　的函数，利用积分求出　　例例1 解解 (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为解解 解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式由柯西由柯西- -古萨基本定理有古萨基本定理有 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得50解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：例例4 4解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,解法一解法一 不定积分法不定积分法. . 利用柯西利用柯西—黎曼方程黎曼方程, ,  因而得到解析函数因而得到解析函数58解法二解法二 全微分方法全微分方法对上式从对上式从(0,0) 沿沿x轴到轴到(x,0),再从再从(x,0)沿直线沿直线到到(x,y)积分得积分得第四章：级数第四章：级数v复数项级数１、复数列收敛　　实部和虚部都收敛。

设２、复级数收敛　实部级数与虚部级数都收敛３、复级数　　收敛的必要条件：v幂级数１、阿贝尔（Abel）定理　　幂级数　　　　如果在　　　　处收敛，则对满足　　　　　的　，级数绝对收敛；如果在　　处发散，则对满足　　　　　的　，级数发散２、幂级数　　　　收敛半径的求法１）比值法　如果　　　　，则２）根值法　如果　　　　，则３、幂级数的运算及性质１）在收敛半径较小的区域内，幂级数可以进行加法、减法、乘法运算，利用乘法运算，可定义除法运算；幂级数也可以进行复合运算２）幂级数　　　　的和函数　　在收敛圆　　　　内是解析函数；而且可逐项求导与逐项积分，收敛半径　不变　　　　　　　　　，v泰勒（Taylor）级数1、函数展开成泰勒级数　　如果函数　　在圆域　　　　内解析，则函数在此圆内可以展开成幂级数，且展开式惟一２、函数展开成泰勒级数的方法１）直接法：利用泰勒级数公式，求各阶导数２）间接法：利用已知级数，逐项积分或求导63常见函数的泰勒展开式64v洛朗（Laurent）级数１、函数展开成罗朗级数　　如果函数　　在圆环区域内解析，则在此区域内可以展开成洛朗级数，且展开式惟一其中　为圆环内绕　的任意一条正向简单曲线。

　　函数展开成洛朗级数一般用间接方法函数展开成洛朗级数一般用间接方法例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解发散，发散，收敛，收敛，例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解例例3 3分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解所以所以例例4 4解解例例5 5解解有有第五第五.六章：奇点与留数六章：奇点与留数v孤立奇点１、孤立奇点分类：可去奇点、极点、本性奇点２、奇点的特征１）可去奇点　　孤立奇点　　　为　　的可去奇点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中不含　　的负幂指数项　　　　　　（有限数）２）极点　　孤立奇点　　　为　　的　级极点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中只含有限个负幂指数项且关于　　　的最高幂为　次　在　的去心邻域内可表示为其中　　在　点解析且　　　孤立奇点　为　　的极点　（此特征没有指出极点的级数）３）本性奇点　　孤立奇点　　　为　　的本性奇点　　在　的去心邻域内的罗朗展开式中含有无穷多个　　的负幂指数项　　　　不存在且不为无穷大４）零点与极点的关系　　若不恒为零的解析函数　　在　的邻域内能表示为　　　　　　　，其中　　在　解析，且　　　　，　为正整数，称　为　　的　级零点。

　　　为　　的　级零点　　　　　不恒为零的解析函数的零点是孤立的　　为　　的　级零点　　　是　　的　级极点综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m阶极点阶极点本质奇点本质奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为0分别是分别是的可去奇点、单极点、的可去奇点、单极点、2 2阶极点及本质奇点阶极点及本质奇点５）函数在无穷远点的性态　　函数　　在　　　处的性态就是　　在　　　的性态　　如果　　为　　的可去奇点、　级极点、本性奇点，则　　　为　　的可去奇点、　级极点、本性奇点　　　　　　　　为　　的可去奇点、极点、本性奇点　分别为当　　　时，　　的极限为有限数、无穷大、不为无穷大的不存在　　　　在　　　　　内罗朗展开式中不含正幂项、含有有限个正幂项、含有无穷多个正幂项v留数及其计算1、定义　　设　　　为　　的孤立奇点，则　　在点的留数其中　是　的去心邻域内包含　的任意一条正向简单闭曲线２、留数的计算方法１）利用罗朗展开式，求出　　　　的系数２）讨论奇点的类型　♣　如果　是可去奇点，则　♣　如果　是本性奇点，只能利用罗朗展开式求它的留数。

　♣　如果　是极点，可利用下面规则　　规则１　如果　为　　的　级极点，则特别的，当　　　时，当　　　时，　　　　　　　　　　　规则２　设　为　　　　　　的一阶极点（只要　　与　　在点　解析，且　　　　，　　　　），则87也可定义为也可定义为记作记作定义定义设函数设函数在圆环域在圆环域内解析内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分那末积分值为值为在在的留数的留数.的值与的值与C无关无关 , 则称此定则称此定3 无穷远点的留数v留数定理　　定理１　设函数　　在区域Ｄ内除去有限个孤立奇点　　　　外处处解析，　是Ｄ内包含诸奇点的一条正向简单曲线，它的内部全部含于Ｄ，则　　定理２　若函数　　在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（含　点），设为则89在无穷远点处留数的计算计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单. .规则3例例1 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一阶极点为一阶极点,为二阶极点为二阶极点,解解例例3 3 求下列积分求下列积分例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数. .解解(1)(1)在在 内内, ,解解解解为奇点为奇点, ,当当 时时 为一级极点，为一级极点，例例5 5解解在在 内内, ,此题可直接利用规则3计算。

解解例例6 6 计算计算 。