121随机事 件与概率.doc

1第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率内容提要内容提要一一 随机事件随机事件1 1 随机事件随机事件 满足下述性质的试验称为随机试验随机试验: (1)可以在相同条件下重复进行试验; (2)每次试验的可能结果不止一个, 但事先知道试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前, 不能确定哪一个结果会出现. 随机试验的所有可能结果的全体称为样本空间样本空间, 用(或)表示. 样本空间的元素, 即S 随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点样本点. 样本空间的任意一个子集是一个随机事件随机事件, 简称事件事件. 一般用表示. 由一个样本点BA, 组成的子集称为基本事件基本事件. 在一次随机试验中, 当且仅当出现的结果是属于事件的样本点时, 称在这次随机试验A 中事件发生. 每次试验子集都必然发生, 称为必然事件必然事件. 每次试验空子集都不会发生, AS 称为不可能事件不可能事件. 2 2 随机事件的运算与关系随机事件的运算与关系 (1) 事件的并集(或)称为与的和事件和事件. BABAAB推广: 有限多个事件的和事件与无穷多个事件的和事件.nkkA11nnA(2) 事件的交集称为与的积事件积事件. ABBAAB推广: 有限多个事件的积事件与无穷多个事件的积事件.nkkA11nnA(3) 事件的差集称为与的差事件差事件. BAAB (4) 作为子集, 如果有, 则称事件包含包含事件. AB BA 特例: 如果, 且, 则称事件与事件相等相等. 记作. BA AB ABBA  (5) 作为子集, 如果有, 则称事件与事件互不相容互不相容.  BAAB特例: 如果,, 则称事件是事件的对立事件对立事件. 记作. SBA BABAAB 3 3 事件的运算律事件的运算律 (1) 和与积: 交换律 , ABBABAAB 结合律 , )()(CBACBA)()(BCACAB分配律 , )()()(BCACCBA))(()(CBCACAB(2) 对立事件: , , AA ASA(3) 差事件: BABA(4) 德摩根公式: , BABABAAB二二 概率概率1 1 定义定义 设是随机试验, 是样本空间. 对每个事件赋予一个实数, 称为事件的概概ESA)(APA率率, 如果集合函数满足以下条件:)(AP2(1) 非负性: ;0)(AP(2) 归一性: ;1)(SP(3) 可列可加性: 如果两两不相容, 则,,21AA )(21 AAP)()(21APAP2 2 性质性质 (1) 不可能事件: .0)(P(2) 互不相容关系(有限可加性): 如果事件是两两不相容的事件, 则nAAA,,,21.)(21nAAAP)()()(21nAPAPAP(3) 包含关系(事件的差): 如果, 则.AB )()()(APBPABP(4) 对立事件: . 不等式: .)(1)(APAP1)(AP(5) 加法公式: . )()()()(ABPBPAPBAP.)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP三三 条件概率条件概率1 1 定义定义设是两个事件, 且, 则称为在事件发生的条件下, BA,0)(AP)()()|(APABPABPA事件发生的条件概率条件概率. B 乘法定理乘法定理 设, 则.0)(AP)()|()(APABPABP乘法定理的推论乘法定理的推论 设,, 则.0)(AP0)(BP)()|()()|(BPBAPAPABP2 2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 设是样本空间, 是一组事件, 如果满足SnAAA,,,21(1)两两不相容; (2) ,iAniiSA1则称为样本空间的一个划分.nAAA,,,21S全概率公式全概率公式 设为样本空间的一个划分, 且, 则对任意事件nAAA,,,21S0)(iAP, 有.B)|()()(1 niiiABPAPBP贝叶斯公式贝叶斯公式 设 为样本空间的一个划分, 且, 则对任意事件nAAA,,,21S0)(iAP, 有.B  niiijj j ABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(3 3 两个事件的独立性两个事件的独立性 对于事件与, 如果有, 则称事件与相互独立独立. AB)()()(BPAPABPAB定理定理 1 1 若与相互独立, 且, 则, 反之亦然. AB0)(AP)()|(BPABP定理定理 2 2 事件对, , , 中有一对相互独立, 则另外三对也},{BA},{BA},{BA},{BA 相互独立. 34 4 多个事件的独立性多个事件的独立性 对于事件和, 如果有BA,C(1))()()()(CPBPAPABCP(2))()()(BPAPABP(3))()()(CPAPACP(4))()()(CPBPBCP则称事件和相互独立. BA,C如果只有后面三式成立, 称事件和两两独立两两独立. BA,C注意注意 如果事件和相互独立, 则它们两两独立. 但是, 这个命题的逆命题不成立. BA,C四四 古典概型古典概型1 1 定义与公式定义与公式古典概型古典概型具有下列特点: (1) 样本空间中样本点的个数有限; (2) 每个基本事件发生的概率相等. 古典概型公式: ，或简写作.)(AP中样本点总数样本空间中样本点个数事件 SA ||||)(SAAP古典概型的条件概率公式:, 或简写作.)|(ABP、、、、、、、、、、、、、、、、、 AAB ||||)|(AABABP2 2 几何概率几何概率几何概率公式: .)(AP、、、、、、、、、、、、、、、、 SA常见的几何度量有线段的长度，平面区域的面积与立体的体积等.一、填空题一、填空题1．在 1 到 1000 中随机地取一个整数，则取到的整数能被 7 整除的概率为 ． 2. 设一箱产品共有 30 件, 其中次品有 5 件, 现有一位顾客从中随机买走 5 件, 则下 一顾客买一件产品买到次品的概率为 . 3. 如果随机事件满足 ，则称为对立事件．BA、BA、 4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中的概率分别为 0.5，0.4，则目标被 命中的概率为_____________．二、选择题二、选择题1. 设随机事件满足 ，则事件BA、)|()|(, 1)(0BAPBAPAP BA、( ).(A) 互不相容. (B) 相互独立. (C) 对立. (D) 不独立. 42. 设随机事件满足：，则( ).BA、0)(ABP(A) 互为对立事件. (B) 互不相容.BA、BA、 (C) 一定为不可能事件. (D) 不一定为不可能事件.ABAB 3. 设随机事件，则下列结论正确的是( ).ABBA、、、、(A) . (B) .必同时发生与BA必发生发生BA(C) . (D) . 必不发生不发生BA必发生不发生AB 4. 同时抛掷 3 枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为( ).(A) 0.5 (B) 0.375 (C) 0.25 (D) 0.125 三、简单计算题三、简单计算题 1．设随机事件与相互独立的，且，．求．AB4 . 0)(AP7 . 0)( BAP)(BP2. 设为三个随机事件，且,, CBA、、41)()()(CPBPAP0)(ABP, 求都不发生的概率.121)()(BCPACPCBA、、四、计算题四、计算题 1．甲、乙两人同时对飞机进行射击，两人击中飞机的概率分别为 0.5，0.8，飞机被一 人击中而被击落的概率为 0.4，被两人击中而被击落的概率为 0.6. 假设甲、乙两人的射击 状态是相互独立的，求飞机被击落的概率．2. 将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误收作的概率为XYXY 0.02，而被误收作的概率为 0.01，信息与信息传送的频繁程度为 2∶1，若收到的YXXY 信息是，问原发信息是的概率是多少？XY。