数字电子技术卡诺图化简法.ppt

2.2 逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1 逻辑变量的最小项及其性质 1.最小项定义:如：A、B、C是三个逻辑变量，有以下八个乘积项为此三个变量的最小项设有n个变量，若m为包含全部n个变量的乘积项（每个变量 必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）则称m为该组 变量的最小项n个变量有2n个最小项2.最小项的编号 最小项常用mi表示，下标i即为编号在最小项中，原变量→1 、反变量→ 0，所对应的十进制数即为i值二进制数 十进制数编号0000m00011m1010011100101110111234567最小项以三变量为例或定义为：使最小项为“1”的变量取值组合所对应的十进制数最小项的编号与变量的高、低位顺序有关注意m2m3m4m5m6m73.最小相的性质(1)对于变量的任意一组取值组合，只有一个最小项的值为1 (2)对于变量的任意一组取值组合，任意两个最小项的积为0 (3)对于变量的任意一组取值组合，所有最小项之和(或)为10 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m710000000 010000001 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1A、B、C三变量的最小项 逻辑变量 最小项之 和形式标准的与或式2.2.2 逻辑函数最小项表达式⒈用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止⒉用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式⒊配项得到最小项表达式由一般逻辑式→最小项表达式方法F(A、B、C、D)如求函数 F(A、B、C)的最小项 表达式解：F(A、B、C)例1例2对于一个具体的逻辑问题，逻辑表达式是不唯一的唯一真值表最小项表达式真值表实际上是函数最小项 表达式的一种表格表示ABCY 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1110最小项表达式的一种图形表示——卡诺图卡诺图卡诺图2.2.3用卡诺图表示逻辑函数1、n变量的卡诺图将n个逻辑变量的2n个最小项分别用一个小方块来表示， 并按照逻辑上相邻的小方块在几何位置上也相邻的规则 排列成的一个方格图形。

逻辑上相邻：两个最小项只有一个变量不同例2、n变量卡诺图的引出（P48~P50 自学）折叠展开法目的：使逻辑上相邻的最小项（小方块）在几何位置上也相邻3、n变量卡诺图的具体画法：二变量卡诺图的画法与书上不同，由一变量卡诺图折叠展开的方法不同造成的2) 三变量的卡诺图 L(A,B,C)3) 四变量的卡诺图 L(A,B,C,D)00011110 00 0111 10m0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m7m12 m13 m14 m15m8 m9 m10 m11ABCDABC 0100011110m0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m71) 二变量的卡诺图 L(A,B)AB1010m0 m1m2 m3 n个变量函数的k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使几何相邻的最小项之间具有逻辑相邻性 几何相邻包括：邻接、行列两端、四角相邻卡诺图具有循环邻接性，是使用K图化简逻辑函数的主要依据4、n变量卡诺图的特点：(1)已知逻辑表达式ⅰ) 逻辑表达式化成最小项表达式ⅱ) 画变量卡诺图ⅲ) 在最小项表达式中包含的最小项对应的小方块中填“1”；其余填入“0”5、逻辑函数的卡诺图画法v这样，任何一个逻辑函数就等于其卡诺图中填“1”的那些最小项之和0100011110 0011 10CD AB111111100 0000 00 0例1：把函数化成最小项表达式，再画卡诺图。

例2：将F(A、B、C、D)的卡诺图画出解：0100011110 0011 10CD ABAB1 11111B CD11ACDABC11AC1111m14,m15 两次填10000可直接按与或式填卡诺图可直接按与或式填卡诺图例2.2.3：在 L 的各最小项对应的方格中填0,其余各方格填1L(A,B,C,D)=( A+B + C+ D)(+B +C+ D )(A+B+C+D)A（A+ B + C + D)( A+B+C+D)求卡诺图0100011110 0011 10CD AB111011001 1110 11 0=m(0,6,10,13,15)ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCDL=∵mi=1例:已知真值表如图A BC L00000011010101111000101011011110A 0 1BC010011 100000 1111 0011010101111101将真值表中函数值为1的变量组合对应的小方块中填入“1”；其余填“0”即可(2)已知真值表卡诺图2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数1.卡诺图化简的依据：循环邻接性2) 相邻四个最小项求和时,四项并一项并消去两个因子1) 相邻两个最小项求和时,两项并一项并消去一个因子3) 相邻八个最小项求和时,八项并一项并消去三个因子0123AB 0001CD010011 104567111012 13141589101146911008210082412146如:如:如:保留相同 因子；消 去不同因 子2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤1) 将相邻的值为“1”的小方块画成若干个包围圈ⅰ)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=0,1,2, …) ⅱ)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他包围圈没有的新小方块 ⅲ)不能漏掉任何值为1的小方块 ⅳ) 包围圈所含的小方块数目要尽可能多 ⅳ) 包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大→小2) 将每个包围圈中的最小项合并成一项→乘积项留下相同因子，消去不同因子3) 对各个包围圈合并成的乘积项求逻辑和画画 圈圈 原原 则则设已得到逻辑函数的卡诺图例2.2.4 :用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式解：(1) 由L 画出卡诺图(0，2，5，7，8，10，13，15)例2.2.51000AB 0001CD010011 101100111010011001给定函数真值表，ABCDLABCDL 0000110001 0001010010 0010010101 0011010110 0100111001 0101111010 0110011100 0111011111①用卡诺图化简成最简与或式②化成与非与非式L=CD‧ABC‧ABD‧ABCD写出圈内的逻辑表达式0132 4576891011121314150100011110 0011 10CD ABABCDA0100011110 0011 10CD AB 0132 457689101112131415BCDA0100011110 0011 10CD AB 0132 457689101112131415BCDBDD ABACD例A 01BC010011 1010110110结论：逻辑函数最简与或式不是唯一的（但最小项表达式唯一）例2.2.6AB 00 01CD010011 1011101111 0111 0111 11111∵∴结论：含0较少时，化包围0的小圆圈,并项得反函数。

再求原函数ABCD化简3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简v 化简方法：视化简需要可作0或1处理v 填真值表、卡诺图时，只在无关项对应的格内填任意符号“Φ”、“d”或“×”对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的 取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意 项无关项的定义例2.2.7：NABCDL000000 100011 200100 300111 401000 501011601100 701111810000910011设计一位十进制数的判奇电路，当为奇数时输出为1，否则为0解：列列 真真 值值 表表无关项：m10--m15L=∑m(1,3,5,7,9)+∑d(10～15)L = D结论：充分利用无关项， 可将函数化为最简AB 00 01CD010011 10111001010101 xxxx 01xx111用卡诺图化简：111101111011110010110100ABCDxx1110xxxx11111011110010110100ABCD2.8 用multisim进行逻辑函数的化 简与变换例:已知逻辑函数Y的真值表如下,试用multisim求出Y的逻辑函 数式,并将其化简为与-或形式ABCDY 10000 10010 10100 1011X 1100X 11010 1110X 11111ABCDY 00000 00011 00100 0011X 01000 01011 01101 01111逻辑函数各种描述方法间的相互转换一、已知逻辑图求逻辑表达式用基本逻辑符号和连线构成的图形描述逻辑函 数的方法：逻辑表达式真值表 卡诺图逻辑图方法：逐级写出逻辑表达 式然后化简BBAAABABL&&&&&11时序图例: 已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑函数式 。

A BY11111解：ABBA +A+B二、已知逻辑表达式求逻辑图方法：先化简→转化为需要的形式→画逻辑图对其二次 求非解：‧ACL&&&&&DB例:已知逻辑函数对应的逻辑图画出&Y1 &111ABC1按照逻辑运算的优先顺序逐级画出逻辑图ABCY 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1110三、从真值表到逻辑函数式使函数为“1”的变量组 合所对应的最小项之逻 辑和四、从逻辑式列出真值表解 ：ABCY 0000 0011 0101 0110 1001 1011 1101 1111例:已知逻辑函数求它对应的真值表真值表ABL000101011110五、真值表到波形图的转换用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系1）当ABC为哪些取值时，下列函数值为02）用卡诺图化简该函数L=AB+BC+CA当 ABC=011时，L=0L= A + B + CABC010001111011110111卡诺图是另种形式的真值表写出以下组合逻辑电路输出L、F的表达式≽1&1=1=1 ABLFCL= AB+ (A㊉B)·C=AB+(A㊉B)·C=AB+(ABC+ABC)=AB+BC+ACF=A ㊉B ㊉C1、用基本公式和定理证明：2、求下列函数的对偶式和反函数：小测验小 结  几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进 制以及相互间的转换 码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的几种BCD码 逻辑问题的描述方法：逻辑表达式、逻辑图、真值表、 卡诺图、时序图（相互转换）分析和设计逻辑电路的重要数学工具：布尔代数（基本定律、常用恒等式） 逻辑函数的化简：布尔代数法、卡诺图法对于一个具体的逻辑问题，真值表、最小项表达式、卡诺图唯一；而逻辑式（包括最简与或式）、逻辑图不唯一。