二次曲面12009.ppt

二次曲面北冥有鱼，其名为鲲鲲之大，不知其几千里也！化而为鸟，其名为鹏 鹏之背，不知其几千里1二次曲面二次曲面§7.1§7.1柱面球面锥面旋转面二次曲面课堂练习Date2在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0表示空间曲面，而则表示空间曲线.本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.Date3一、球面一、球面与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面. 下面建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 .空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当| P0 P | = R , 所以该球面方程为:若球心在坐标原点,则球面方程为: x2 + y2 + z2 = R2 将上述方程展开得Date4球面的参数方程1. 球心在原点P0yxzPzxy球心不在原点时Date5曲面和曲线的参数方程例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为 b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的 方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。

P.241Date6二、柱面由一族平行直线形成的曲面叫做柱面T: 空间一条定曲线C: 空间一条定直线 动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成的轨迹动直线L称为柱面的母线称为柱面的准线确定了柱面的方向注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一确定反之，柱面的准线不唯一Date7xyzoLT母线平行于z轴的柱面方程.图1因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为: C求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程Date8一般地,在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含z), 表 示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为 方程 g(x , z)=0 (不含y), 表示母线平行于y轴的柱面,它 的一条准线为 方程 h(y , z)=0 (不含x), 表示母线平行于x轴的柱面,它 的一条准线为注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面Date9例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面 ?xyzyzxyoxzzxyo xyzoDate10例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为的柱面方程x2 + y2 + z2 = c x+y+z=0Date11三、锥面三、锥面过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面. 动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动 点M0。

L称为锥面的母线，T称为锥面的准线， M0 称为锥面的顶点oxyz同理，锥面由准线顶点唯一决定 ，并且锥面的准线不唯一求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程Date12锥面方程的求解求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程Date13例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为：x2 + y2 =1z = c (c为常数), 求锥面的方程 .解：设 P(x, y, z) 为锥面上任一点,母线OP交准线于 点P1(x1, y1, z1), 则有 消去参数 x1, y1, z1 可得z2 = c2(x2 + y2)锥面的参数方程： xyzoDate14四、旋转面四、旋转面圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直 线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一 条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. 一般考虑平面曲线绕坐标轴旋转而成的曲面P1(0,y1,z1) P(x, y, z)y xzo点P位于点P1绕z轴旋转所得的圆周上Date15例：求 yoz 面上的直线 z = ycotα绕z轴旋转一周所得 锥面的方程oxyzα求旋转面方程的法则：绕哪个轴旋转，就把母线 方程中的另外一个自变量换掉。

Date16xyzo例：求面yoz上的双曲线分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.oyxz旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面Date17五、二次曲面五、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、圆锥 面等.下面利用“截痕法”再研究几种特殊的二次曲面.1、椭球面oy xz如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为Date18(1) 单叶双曲面xyoz2、双曲面（2）双叶双曲面 zxoyDate19椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为有心二次曲面.3、抛物面（无心二次曲面）（1）椭圆抛物面y xzo（2）双曲抛物面（马鞍面）xyzoDate201.方程表示怎样的曲线？课堂练习：2.指出下列曲面的名称Date21。