高中数学数列十种求通项和七种求和方法-练习及答案.doc

高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和：性质： （1）若，则（2）为等差数列（为常数，是有关的常数项为0的二次函数）2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意公比）性质：是等比数列（1）若，则3．求数列通项公式的常用措施一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故数列是觉得首项，觉得公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，因此数列的通项公式为二、累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则因此数列的通项公式为例3已知数列满足，求数列的通项公式解：两边除以，得，则 三、累乘法 例4 已知数列满足，求数列的通项公式解：由于，因此，则，故因此数列的通项公式为例5 （全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式解：由于 ①因此 ②用②式－①式得则故四、待定系数法（重点）例6 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得例7 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 ⑥将代入⑥式，得整顿得令，则，代入⑥式得 ⑦例8 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得 ⑨五、对数变换法例9 已知数列满足，，求数列的通项公式解：由于，因此在式两边取常用对数得 ⑩设 六、迭代法例10 已知数列满足，求数列的通项公式解：由于，因此七、数学归纳法例11 已知，求数列的通项公式其她措施呢？）解：由及，得由此可猜想，往下用数学归纳法证明这个结论1）当时，，因此等式成立2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立根据（1），（2）可知，等式对任何都成立八、换元法例12 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，则故，代入得即由于，故则，即，可化为，九、不动点法例13 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的两个不动点由于十、倒数法，求4. 求数列前n项和的常用措施一、公式法 运用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的措施. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、[例1]求的前n项和.[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、错位相减法（等差乘等比） [例3] 求和：[例4] 求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………② （设制错位）①－②得 （错位相减） ∴ 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的措施，就是将一种数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5] 求证：证明： 设………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ [例6] 求的值解：设…………. ①将①式右边反序得 …………..② （反序） 又由于 ①+②得 （反序相加）＝89 ∴ S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将此类数列合适拆开，可分为几种等差、等比或常用的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n项和：，…[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设 ∴ ＝将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去某些项，最后达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) [例9] 求数列的前n项和. [例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. [例11] 求证：解：设∵ （裂项） ∴ （裂项求和） ＝ ＝＝＝ ∴　原等式成立 六、合并法求和针对某些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ （找特殊性质项）∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0[例13] 数列{an}：，求S.解：设S＝由可得……∵ （找特殊性质项）∴　S＝ （合并求和）＝＝＝＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） ＝ ＝ ＝10 七、运用数列的通项求和先根据数列的构造及特性进行分析，找出数列的通项及其特性，然后再运用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一种重要的措施.[例15] 求之和.解：由于 （找通项及特性）∴ ＝ （分组求和）＝＝＝[例16] 已知数列{an}：的值.数列练习一、选择题1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 2.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4设是等差数列的前n项和，已知，，则等于A．13 B．35 C．49 D． 63 5.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－ （C） （D）26.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.等差数列的前n项和为，已知，,则（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 8.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和= A． B． C． D．9.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题1设等比数列的公比，前项和为，则 ．2.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．3.在等差数列中,,则.4.等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= . 数列练习参照答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,又由于等比数列的公比为正数，因此,故,选B2.【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。

答案】B3.答案：C【解析】由得得,再由得 则,因此,.故选C4.解: 故选C.或由, 因此故选C.5.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－【答案】B6.【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝1007.【答案】C【解析】由于是等差数列，因此，，由，得：2－＝0，因此，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C8.【答案】A解析设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），因此数列的前项和9.【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空题1.【命题意图】此题重要考察了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考察充足体现了通项公式和前项和的知识联系．【解析】对于 . 2.答案： 【命题意图】此题是一种数列与类比推理结合的问题，既考察了数列中档差数列和等比数列的知识，也考察了通过已知条件进行类比推理的措施和能力. 3.【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,因此. 答案:13.【命题立意】:本题考察等差数列的通项公式以及基本计算.4.【答案】【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，因此，，＝三、大题1.等比数列的各项均为正数，且1）.求数列的通项公式.2）.设 求数列的前项和.2.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和．2*.已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（Ⅰ）求。