数论班100题手册.doc

1 1 数论短期班数论短期班 100 题手册题手册知识框架体系知识框架体系一、奇偶性质一、奇偶性质 1．奇数和偶数的表示方法：奇数和偶数的表示方法： 因为偶数是因为偶数是的倍数，所以通常用的倍数，所以通常用这个式子来表示偶数这个式子来表示偶数( (这里这里是整数是整数) )；；22kk 因为任何奇数除以因为任何奇数除以其余数总是其余数总是 ，所以通常用式子，所以通常用式子来表示奇数来表示奇数( (这里这里是整数是整数) )．．2121k k 特别注意，因为特别注意，因为能被能被整除，所以整除，所以是偶数．最小的奇数是是偶数．最小的奇数是 ，最小的偶数是，最小的偶数是．．020102．奇数与偶数的运算性质：奇数与偶数的运算性质： 性质一：偶数性质一：偶数偶数偶数=偶数偶数( (偶数偶数偶数偶数=偶数偶数) ) 奇数奇数奇数奇数=偶数偶数( (奇数奇数奇数奇数=偶数偶数) ) 偶数偶数奇数奇数=奇数奇数( (偶数偶数奇数奇数=奇数奇数) ) 可以看出：一个数加上可以看出：一个数加上( (或减去或减去) )偶数，不改变这个数的奇偶性；偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上一个数加上( (或减去或减去) )奇数，它的奇偶性会发生变化．奇数，它的奇偶性会发生变化． ( (也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．) )性质二：偶数性质二：偶数奇数奇数=偶数偶数( (推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数) ) 偶数偶数偶数偶数=偶数偶数( (推广开就是：偶数个偶数相加得偶数推广开就是：偶数个偶数相加得偶数) ) 奇数奇数奇数奇数=奇数奇数( (推广开就是：奇数个奇数相加得奇数推广开就是：奇数个奇数相加得奇数) ) 可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数． ( (也可以这样简记：对于乘法，见偶也可以这样简记：对于乘法，见偶( (数数) )就得偶就得偶( (数数))))．．性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．二、整除二、整除 1．整除的定义整除的定义所谓所谓““一个自然数一个自然数 a 能被另一个自然数能被另一个自然数 b 整除整除””就是说就是说““商商是一个整数是一个整数”” ；或者换句话说：；或者换句话说：a b 存在着第三个自然数存在着第三个自然数 c，使得，使得．这是我们就说．这是我们就说““b 整除整除 a””或者或者““a 被被 b 整除整除”” ，其中，其中abc b 叫叫 a 的约数，的约数，a 是是 b 的倍数，记作：的倍数，记作：““”” ．．|b a2．整除性质：整除性质：⑴⑴ 传递性传递性 若若，，，则，则．．|c b|b a|c a⑵⑵ 可加性可加性 若若，，，则，则．．|c a|c b|cab、、⑶⑶ 可乘性可乘性 若若，，，则，则．．|c a|d b|cd ab3．整除的特征整除的特征⑴⑴的整除特征的整除特征4,25,8,125,16,625能否被能否被和和整除是看末两位；能否被整除是看末两位；能否被 和和整除是看末三位；能否被整除是看末三位；能否被和和整除是看末四整除是看末四425812516625 位位( (, ,, ,, ,) )10042510008 12510000166251000003231252 2 ⑵⑵ 的整除特征的整除特征3,9能否被能否被整除是看数字之和是否是整除是看数字之和是否是的倍数，并且这个数除以的倍数，并且这个数除以的余数和这个数数字之和除以的余数和这个数数字之和除以999 的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是的倍数的数划掉，剩下的数是几就的倍数的数划掉，剩下的数是几就99 代表这个数除以九余几代表这个数除以九余几⑶⑶的整除特征的整除特征7,11,13①①能否被能否被，，，，整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶71113 数段的和的差是否为数段的和的差是否为，，，，的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被除余除余711137,11,13 几就代表几就代表 这个数除以这个数除以余几余几7,11,13 ②②能否被能否被整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为的倍数，并的倍数，并1111 且算出的差除以且算出的差除以余几就代表这个数除以余几就代表这个数除以余几余几1111⑷⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征 如如，，，，，，728 9 9911 9123410017 11 13 （这样我们就知道（这样我们就知道 至至所有整数的整除特征）所有整数的整除特征）116三、约数和倍数三、约数和倍数 1．约数和倍数约数和倍数定义定义 ⑴⑴约数和倍数的定义：如果一个自然数约数和倍数的定义：如果一个自然数能被自然数能被自然数整除，那么称整除，那么称为为的倍数，的倍数，为为的约的约ababba 数．数． ⑵⑵最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个 自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如：自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如： ，，．．(8,12)4(6,9,15)3⑶⑶最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干 个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍 数．例如：数．例如：，，．．8,12246,9,15902．约数和倍数约数和倍数 ⑴⑴最大公约数的性质：最大公约数的性质： ①①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③③几几个个数数都都乘乘以以一一个个自自然然数数 ，，所所得得的的积积的的最最大大公公约约数数等等于于这这几几个个数数的的最最大大公公约约数数乘乘以以 ．．nn ⑵⑵最小公倍数的性质：最小公倍数的性质： ①①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． ⑶⑶最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两( , ) [ , ]ABmambmmabA BA B个数的积；个数的积； ②②最大公约数是最大公约数是、、、、、、及最小公倍数的约数．及最小公倍数的约数．ABABAB3．求一组分数的最大公约数与最小公倍数求一组分数的最大公约数与最小公倍数 ⑴⑴求一组分数的最大公约数：求一组分数的最大公约数： 先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数；求出各个分数的分子的最大；求出各个分数的分子的最大a公约数公约数；；即为所求．即为所求． bb a3 3 ⑵⑵求一组分数的最小公倍数方法步骤：求一组分数的最小公倍数方法步骤： 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约；求出各个分数分母的最大公约a数数；；即为所求．即为所求．bb a例如：例如：3 5[3,5]15[ ,]4 12(4,12)4四、质数、合数四、质数、合数 1．相关定义相关定义 质数：一个数除了质数：一个数除了 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数( (也叫做素数也叫做素数).).1 合数：一个数除了合数：一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. .要特别记住：要特别记住：和和 不是质数，不是质数，01 也不是合数也不是合数. . 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. . 互质数：公约数只有互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数的两个自然数，叫做互质数. . 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. .常用的常用的以内的质数：以内的质数：100 、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2357111317192329313741434753596167 、、、、、、、、、、，共计，共计个；除了个；除了其余的质数都是奇数；除了其余的质数都是奇数；除了和和，其余的质，其余的质71737983899725225 数个位数字只能是数个位数字只能是 ，， ，，或或. .1379 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.2 ⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是 ， ，或.这也是很多题解题思路，需要大251379 家注意.部分特殊数的质因数分解：部分特殊数的质因数分解：；；；；；；；；1113 3710017 11 131111141 2711000173 137 ；；；；；；；；19953 57 19  199823 3 3 37   20073 3223 2008222251   . .101013 7 13 37 2．判断一个数是否为质数的方法判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于根据定义如果能够找到一个小于的质数的质数( (均为整数均为整数) )，使得，使得能够整除能够整除，那么，那么就不是质就不是质PppPP数，所以我们只要拿所有小于数，所以我们只要拿所有小于的质数去除的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大PP的的，我们可以先找一个大于且接近，我们可以先找一个大于且接近的平方数的平方数，再列出所有不大于，再列出所有不大于的质数，用这些质数的质数，用这些质数PP2KK 去除去除，如没有能够除尽的那么，如没有能够除尽的那么就为质数就为质数. .PP例如：很接近，根据整除的性质不能被、 、、、整除，所以14914412 12149235711 是质数.1493．约数个数定理约数个数定理设自然数设自然数的质因子分解式如的质因子分解式如. .n312 123naaaa nppppL那么那么的约数个数为的约数个数为n1231111nd naaaaL( )()()()()自然数自然数的约数和为的。