相似矩阵及次型.doc

1第五章：相似矩阵及二次型第五章：相似矩阵及二次型本章要求：本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性§§1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性内容：内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式；n 维向量 x 与 y 的夹角；正交；      yyxxyx, ,,2    yxyx,arccos  正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵 A 的 n 个列（行）向量构成向量空间 Rn 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度重点：重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。

§§2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量内容：内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式；            nnnnnnaaaaaaaaafLMMMLL2122221112112若 λ 是 A 的特征值，则 也是的特征值；特征值互不相等，则对应的特征        A 向量线性无关重点重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关§§3 相相 似似 矩矩 阵阵内容：内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设，则有                n   O211） ,21                k nkkk   O             .21                n       O2）若 n 阶矩阵 A 与相似，则即为 A 的 n 个特征值。

 n   ,,,21L重点：重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为 A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角矩阵相似§§4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化内容：内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化 重点：重点：实对称阵 A 对角化的步骤：31）求出 A 的全部互不相等的特征根，他们的重数依次为s   ,,,21L).(,,,2121nkkkkkkss    LL2)对每个重特征值，求方程的基础解系，得个线性无关的iki 0)(  xEAi ik特征向量再把它们正交化、单位化，得个两两正交的单位特征向量因ik，故总共可得 n 个两两正交的单位特征向量nkkks    L213）把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有注意中.1   APP 对角元的排列次序应与 P 中列向量的排列次序相对应。

§§5 二次型及其标准形二次型及其标准形内容：内容：二次齐次多项式；二次型；实二次型；复二次型；二次型 f 的矩阵；对称矩阵 A 的二次型；二次型的秩；二次型的标准形；二次型的规范型；矩阵 A 与 B合同；任给实二次型，总能经过正交变换化为标准形重点：重点：熟练掌握用正交变换把实二次型化为标准形的方法步骤§§6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形基本要求：基本要求：会用配方法把二次型化为标准形§§7 正定二次型正定二次型内容：内容：惯性定理；正惯性指数；负惯性指数；f 为正定二次型；A 是正定矩阵；f 为负定二次型；A 是负定矩阵；二次型为正定的充要条件是它的正惯性指数为 n,对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正；对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶(顺序)主子式都为正；对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶(顺序) 主子式为负，而偶数阶(顺序)主子式为正4重点：重点：正定二次型的定义及判定方法第六章第六章 线性空间与线性变换（线性空间与线性变换（1---3 节）节）内容：内容：线性空间的定义（八条）、性质；子空间；线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充要条件是 L 对于 V 中的线性运算封闭。

线性空间的基与维数；元素在基下的坐标；线性空间的同构定义：设及是线性空间中的两个基，若n   ,,,21Ln   ,,,21LnV                     nnnnnnnnnnppppppppp            LLLLLLLLLLLLLL22112222112212211111或记 以上两式称为基变换公式，矩阵 P 称为由基到基的过n   ,,,21Ln   ,,,21L渡矩阵定理 设中的元素，在基下的坐标为，在基nV n   ,,,21LT nxxx),,,(21L下的坐标为由基到基的过渡矩阵n   ,,,21L,),,,(21T nyyyLn   ,,,21Ln   ,,,21L为 P，则有坐标变换公式                              nnyyyPxxxMM2121        ,,, ,,,,,,212222111211212121                nnnnnnnnnpppppppppPLMMMMLLLLL         。