实验十九_金属中电子的费米—狄拉克分布验证22.pdf

1 费 米 —狄 拉 克 分布 实 验 验证【 实 验 目 的 】1. 通 过 实 验 验 证 费 米 — 狄 拉 克 分 布 2. 学 会 一 种 实 验 方 法 及 处 理 实 验 数 据 的 技 巧 实 验 原 理 】近 代 电 子 理 论 认 为 金 属 中 的 电 子 按 能 量 的 分 布 是 遵 从 费 米 ― ― 狄 拉 克 的 量 子 统计 规 律 的 ， 费 米 分 布 函 数 为1kT/)(exp1)(gf（ 1）金 属 中 的 每 个 电 子 都 占 有 一 定 能 量 的 能 级 ， 这 些 能 级 分 布 密 集 ， 形 成 能 带 当 其温 度 为 绝 对 零 度 时 ， 金 属 中 电 子 的 平 均 能 量 并 不 为 零 此 时 金 属 中 的 电 子 将 能 量 从 零到 能 量 为 εf( εf称 费 米 能 级 , εf的 值 随 金 属 的 不 同 而 不 同 ) 的 能 级 全 部 占 据 而 高 于费 米 能 级 的 那 些 能 级 全 部 空 着 ， 没 有 电 子 去 占 据 如 图 （ 1） 中 的 实 线 所 示 ， 当 金 属的 温 度 为1500 ℃ , 则 靠 近 费 米 能 级 的 少 数 电 子 由 于 热 运 动 的 增 加 , 其 能 量 超 过 εf值 ,因 而 从 低 于 费 米 能 级 的 能 带 跃 迁 到 高 于 费 米 能 级 的 能 带 上 去 , 其 分 布 曲 线 如 图 (1)中的 虚 线 所 示 。

我 们 的 实 验 是 在 灯 丝 灼 热（ 约 1400 ℃ ～ 1500 ℃ ）的 情 况 下 进 行 的 ，因 此我 们 实 验 所 测 的 结 果 也 只 是 靠 近 费 米 能 级 的 一 部 分 ， 如 图 （ 1） 中 矩 形 所 包 的 虚 线 部分 对 （ 1） 式 求 导 可 得2 ff } 1kT/)({expkTkT/)(expd)(dg)( ' g（2）（ 1） 、 （ 2） 两 式 的 理 论 曲 线 如 图 （ 1） 和 图 （ 2） 所 示 2 由 于 金 属 内 部 电 子 的 能 量 无 法 测 量 ， 只 能 对 真 空 中 热 发 射 电 子 的 动 能 分 布 进 行 测量 由 于 电 子 在 真 空 中 的 热 运 动 与 电 子 在 金 属 内 部 的 运 动 情 况 完 全 不 同 ， 这 是 因 为 金属 内 部 存 在 着 带 正 电 的 原 子 核 ， 电 子 不 但 有 热 运 动 的 动 能 ， 而 且 还 具 有 势 能 ， 真 空 中的 电 子 就 不 存 在 势 能 ，εf=0由 于 电 子 从 金 属 内 部 逃 逸 到 真 空 中 时 ，还 要 消 耗 一 部 分能 量 用 作 逸 出 功 ， 因 此 从 金 属 内 部 电 子 的 能 量 ε 减 去 逸 出 功 Ａ ， 就 可 得 到 真 空 中 热 发射 电 子 的 动 能 εｋεk=ε -A （ 3）此 外 , 在 真 空 与 金 属 表 面 附 近 还 存 在 着 电 子 气 形 成 的 偶 电 层 ， 就 是 说 逸 出 金 属 表 面的 电 子 ， 还 要 消 耗 一 些 能 量 穿 越 偶 电 层 ， 根 据 前 苏 联 科 学 院 院 士 , Я . И 符 伦 克 尔 和И .E塔 姆 的 理 论 , 电 子 穿 越 偶 电 层 所 需 的 能 量 , 也 就 是 该 金 属 的 费 米 能 级 εf。

考 虑 到这 两 个 因 素 之 后 应 对 费 米 函 数 作 适 当 的 修 正 ， 修 正 后 的 费 米 函 数 应 为 ：1kT/)(exp1)(gfkk（ 4）对 （ ４ ） 式 求 导 得2 fkfkkk k} 1kT/)({expkTkT/)(expd)(dg)( 'g（ 5）由 （ 4） 、 （ 5） 两 式 可 以 看 出 ， 真 空 中 发 射 电 子 的 动 能 分 布 也 遵 从 费 米 — 狄 拉 克分 布 实 验 方 法 及 数 据 处 理 】本 实 验 是 利 用 理 想 二 极 管 的 特 殊 结 构 ， 在 管 子 的 外 面 套 一 个 螺 线 管 ， 并 且 通 以 直流 电 流 ， 则 螺 线 管 中 的 磁 感 应 强 度 Ｂ 的 方 向 与 管 子 的 轴 线 （ 灯 丝 ） 平 行 ， 在 二 极 管 不加 板 压 的 情 况 下 （ up=0） , 从 灯 丝 发 射 出 电 子 , 沿 半 径 方 向 飞 向 园 柱 面 板 极 ( 阳 极 ) ， 由于 阳 板 电 压 为 零 , 所 以 电 子 在 不 受 外 电 场 力 的 作 用 下 ， 保 持 其 初 动 能 飞 向 阳 极 形 成 阳极 饱 和 电 流 ， 其 线 路 如 图 (3) 所 示 。

3 由 于 电 子 的 初 动 能 各 不 相 同 ， 如 何 将 它 们 按 相 等 的 动 能 间 隔 区 分 开 来 ， 并 且 求 出电 子 数 目 的 相 对 值 ， 便 成 为 本 实 验 的 焦 点 由 图 （ 4） 可 知 ， 从 二 极 管 灯 丝 （ 即 园 心 ）发 射 出 的 电 子 ， 沿 半 径 方 向 飞 向 园 柱 面 阳 极 （ 即 园 周 ） ， 在 螺 线 管 所 产 生 的 磁 感 应 强度Ｂ的 作 用 下 ， 电 子 将 受 到 罗 仑 兹 力 Ｆ =-ev×B而 作 匀 速 圆 周 运 动 罗 仑 兹 力 是 向 心力 ， 它 不 改 变 电 子 的 动 能 ， 由 于v⊥Ｂ， 所 以 罗 仑 兹 力 公 式 可 用 下 式 表 示 ：RmvBevf2L（ 6）mBeRv（ 7）（ 7） 式 中 的 v 是 电 子 沿 二 极 管 半 径 方 向 的 速 度 ， 或 者 电 子 的 速 度 在 半 径 方 向 的 分 量 ，R 是 电 子 作 匀 速 圆 周 运 动 的 半 径 ， ｍ 是 电 子 的 质 量 ， B 是 螺 线 管 中 间 部 分 的 磁 感 应 强度 ， B 的 计 算 公 式 为 ：22B0DLNIB（ 8）（ 8） 式 中 ， μ0=4 π × 10- 7(H/m)是 真 空 中 的 磁 导 率 ； N 是 螺 线 管 的 总 匝 数 ； Ｌ 和 Ｄ 分别 是 螺 线 管 的 长 度 和 直 径 ， ＩＢ是 通 过 螺 线 管 的 电 流 强 度 。

将 （ 7） 、 （ 8） 代 入 （ 6）式 可 得 真 空 中 电 子 的 动 能 为 ：2 B22222 02 2 kI)me( DL2RNmmv21（ 9）4 由 图 （ 4） 可 看 出 ， 若 电 子 作 匀 速 圆 周 运 动 的 半 径 R> 4d(d是 园 柱 面 阳 极 的 直 径 ),电 子 就 能 达 到 阳 极 , 形 成 阳 极 电 流 , 若R< 4d, 电 子 就 不 能 到 达 阳 极 , 这 一 部 分 电 子 对 阳极 电 流 无 贡 献 可 见 电 子 作 匀 速 圆 周 运 动 的 半 径 ( 取 决 于 IB) 直 接 影 响 阳 极 电 流 的 大 小 ,将 R= 4d代 入 (9) 式 可 得2 BkKI（ 10）其 中142 22222 10)me()DL(2mdNK为 一 常 数 由 (10)式 可 知 真 空 中 发 射 电 子 的 动 能 与 螺 线 管 中 的 电 流 强 度 的 平 方 成 正 比 , 而 罗仑 兹 力 不 改 变 电 子 的 动 能 , 它 只 影 响 电 子 作 匀 速 圆 周 运 动 的 半 径 的 大 小 , 对 动 能 一 定的 电 子 , 向 心 力 越 大 ( 即IB2越 大 ) 匀 速 圆 周 运 动 的 半 径 越 小 , 当 动 能 增 加 △ εk时 , 将 有相 应 数 量 的 电 子 因 其 圆 周 运 动 的 半 径 小 于 4d而 不 能 到 达 阳 极 , 所 以 阳 极 电 流 将 减 小 △Ip。

又 因 为 εk与 IB2成 正 比 , 所 以 可 用 IB2代 替 变 量 εk进 行 实 验 及 数 据 处 理 实 验 中 ， 设 灯 丝 电 流 强 度 稳 定 不 变 ， 阳 极 电 压 为 零 ， 理 想 二 极 管 的 饱 和 电 流 为IP0=n0e (11) (11)式 中 的n0以 及 下 面 的n1;n2;n3; ⋯ ⋯ 均 为 单 位 时 间 内 到 达 阳 极 的 电 子 数 目 , 当IB2以 相 等 的 改 变 量 依 次 增 加 下 去 , 我 们 将 得 到 一 组 方 程 : 5 enIenI2P1P21(12) 由 （ 11 ） 、 （ 12 ） 式 联 立 可 得ene)nn(IIIene)nn(III221PPP110PPP212101(13) )11()12(得02PP01PPn/nI/In/nI/I0201(14) )11()13(得02PP01PPn/nI/In/nI /I0201(15) 为 了 配 合 理 论 上 的 要 求 ，操 作 时 事 先 选 好 ＩＢ２的 值 ，使 其 等 间 隔 的 增 加 ，然 后 以 其 平方 根 的 值 ， 作 为 实 验 测 量 时 的 电 流 值 ， 进 行 实 际 测 试 。

数 据 记 录 】１ ． 螺 线 管 的 总 匝 数N=525 匝２ ． 螺 线 管 的 长 度L=0.145m ３ ． 螺 线 管 的 平 均 直 径D=0.065m ４ ． 真 空 中 的 磁 导 率μ0=4 π × 10- 7(H/m) ５ ． 园 柱 面 极 的 直 径ｄ =8.4mm( 用 测 量 显 微 镜 测 ) (1) 以 0iPPI /I为 y 轴 , 以 IB2为 x 轴 , 作 g( εk)- εk曲 线 2) 以 0iPPI /I为 y 轴 , 以 IB2为 x 轴 , 作 g( εk)- εk曲 线 3) 求0iPP II, 检 查 是 否 满 足 归 一 化 条 件 4) 计 算 g′ ( εk) ~ εk曲 线 峰 值 对 应 的 εk值 即 为 εf值 ( 以 eV 为 单 位 ) 6 【 数 据 处 理 和 分 析 讨 论 】IB2（A2）0.0000.040 0.08000 0.1200.1600.2000.2400.2800.3200.3600.4000.4400.4800.5200.5600.600IB（A）0.0000.2000.2830.3460.4000.4470.4900.5290.5660.6000.6320.6630.6930.7210.7480.774IpnIpn/Ip0ΔIpi=Ipn-Ipn+1ΔIpi/Ip0IB2（A2）0.6400.6800.7200.7600.8000.8400.8800.9200.9601.000 IB（A）0.8000.8250.8480.8720.8940.9160.9380.9590.9801.000 Ipn1.110.9000.80.70.60.50.30.30.2 Ipn/Ip00.02100.01900.01710.01520.01330.01140.00950.00570.00570.0038ΔIpi=Ipn-Ipn+10.10.10.10.10.10.10.200.1ΔIpi/Ip00.00190.00190.00190.00190.00190.00190.003800.0019根 据 以 上 数 据 结 果 ， 利 用 公 式 可 以 求 得 ：996190476.00Pp IIi， 误 差 只 有 0.4% ， 可 见 归 一 化 的 程 度 较 高 。

下 面 图 1 和 图 2 分 别 是kkg~)(，kkg~)( '曲 线 。