几个经典数学模型的再认识PPT优秀课件.ppt

几个经典数学模型的再认识几个经典数学模型的再认识1.椅子放稳模型椅子放稳模型2.存贮模型存贮模型3.仓库选址模型仓库选址模型4.蛛网模型蛛网模型南通大学理学院南通大学理学院 林林 道道 荣荣报告提纲报告提纲2008江苏省工业与应用数学学会学术年会分组报告江苏省工业与应用数学学会学术年会分组报告 2008年年11月月15日日 南通南通1. 1. 椅子放稳模椅子放稳模型型 这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了用要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了用数学模型证明为什么能放稳先假设数学模型证明为什么能放稳先假设 1 1、、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形正方形( (椅子的四脚连线也可能为矩形，梯形等为了从椅子的四脚连线也可能为矩形，梯形等为了从最简单的研究起，我们就设其为正方形。

最简单的研究起，我们就设其为正方形);); 2 2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面( (椅椅子是不能在台阶上放稳的子是不能在台阶上放稳的);); 3 3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地时着地( (如果地面在小地方中凹凸太厉害，以至于比椅腿如果地面在小地方中凹凸太厉害，以至于比椅腿的长度更大时，椅子也不能放稳的长度更大时，椅子也不能放稳 移动椅子有三种方法：旋转；平移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转其中旋转要设移；平移加旋转其中旋转要设1 1个变量；平移要个变量；平移要2 2个；平移加旋转个；平移加旋转要要3 3个为了方便起见一般采用旋个为了方便起见一般采用旋转法 由于由于““假设假设1”1”设椅子的四脚连设椅子的四脚连线为正方形，所以我们可以利用正线为正方形，所以我们可以利用正方形的对称性建立平面直角坐标系方形的对称性建立平面直角坐标系. .xBADCO正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转D´C ´B ´A ´ 用用 表示旋转表示旋转, ,此时此时A、、C 两脚与地两脚与地面距离之和记为面距离之和记为f( )，，B、、D 两脚与地两脚与地面距离之和记为面距离之和记为g( ).如果开始如果开始旋转时旋转时A两脚不着地，则两脚不着地，则f(0) > 0 ，，g(0)=0。

 此时问题已经转化为这么一个数学模型：已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数（由假连续函数（由假设设2）） ; 对任意对任意 ，， f( ) • g( )=0 ; 且且 g(0)=0，， f(0) > 0求证：求证：存在存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0 证明：证明：将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换由g(0)=0，， f(0) > 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)>0 令令h( )= f( )–g( ), 由由 f, g的连续性知的连续性知 h为为[0, π/2]上上的的连续函数连续函数, 而且而且h(0)>0和和h( /2)<0 据连续函数的基本据连续函数的基本性质性质, 必存在必存在0< 0 <π/2, 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) 因为因为f( ) • g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0问题：问题：四脚成长方形或四脚共圆时，模型还适用吗？四脚成长方形或四脚共圆时，模型还适用吗？ 因为因为四脚成长方形或四脚共圆时，四脚成长方形或四脚共圆时，将椅子将椅子旋转旋转900，，对角线对角线AC和和BD不能互换。

但不能说不能互换但不能说不适用！注意到正不适用！注意到正方方形是中心对称图形，长方形是轴对称图形，因此对于四脚形是中心对称图形，长方形是轴对称图形，因此对于四脚成长方形情形，注意到成长方形情形，注意到椅子椅子旋转旋转1800时时对边对边AB和和CD能互能互换，只要换，只要把把A、、 B 两脚与地面距离之和记为两脚与地面距离之和记为f( )，， C 、、D 两脚与地面距离之和记为两脚与地面距离之和记为g( )就可以了就可以了,因为把证明过程因为把证明过程中的中的π/2 改为改为π就可以了就可以了.显然改进的模型适用四脚成正方显然改进的模型适用四脚成正方形情形形情形, 由于一般四边形无对称性，从证明的角度看四脚由于一般四边形无对称性，从证明的角度看四脚成成长方形包括长方形包括正方形情形的模型似乎不适用于四脚共圆！正方形情形的模型似乎不适用于四脚共圆！ 四脚与地面距离四脚与地面距离有有4个函数，两对角线分别组合解决个函数，两对角线分别组合解决四脚成正方形四脚成正方形；对边分别组合解决；对边分别组合解决四脚成长方形四脚成长方形有没有有没有其它组合？可以其它组合？可以A脚与地面距离为脚与地面距离为f( ）），， B、、C、、D 三三脚脚与地面距离之和为与地面距离之和为g( ) 。

把证明过程中的把证明过程中的π/2 或或π改为改为α（（ 0<α <2 π ））就可以了就可以了!这时这时模型适用四脚共圆！当然适用模型适用四脚共圆！当然适用四脚成四脚成长方形包括长方形包括正方形情形正方形情形 进一步地，进一步地，四脚共圆的模型就是通用模型？分析证明四脚共圆的模型就是通用模型？分析证明过程可知这样的证明也适用于过程可知这样的证明也适用于四脚成四脚成正正方形或长方形，即方形或长方形，即不需不需将椅子将椅子旋转旋转900或将或将椅子椅子旋转旋转1800证明证明！！ 因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有有4个个函数，函数，A脚或另外最多两个脚与地面距离脚或另外最多两个脚与地面距离之和之和为为f( ）），， 其其它它脚与地面距离之和为脚与地面距离之和为g( ) 椅子椅子旋转旋转αα，，在区间在区间[ [0，， α]上应用介值定理不难证明上应用介值定理不难证明这表明我们对这表明我们对四脚成四脚成正方形正方形或长或长方形的模型适用于其它情形方形的模型适用于其它情形 再认识一：再认识一：对建立模型过程或模型求解过程分析，对建立模型过程或模型求解过程分析，找出建模关键而形成通用模型。

找出建模关键而形成通用模型2. 2. 存贮模型存贮模型 存贮模型是存贮论的基本内容存贮模型是存贮论的基本内容, ,而存贮论是运筹而存贮论是运筹学的一个重要分支学的一个重要分支, ,在生产领域有广泛应用在生产领域有广泛应用. . 初等存贮模型分不允许缺货的存贮模型、允许缺初等存贮模型分不允许缺货的存贮模型、允许缺货的存贮模型这里先介绍不允许缺货的存贮模型货的存贮模型这里先介绍不允许缺货的存贮模型一、不允许缺货的存贮模型一、不允许缺货的存贮模型问问 题题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间费该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产，不允许缺货内产，不允许缺货模模 型型 假假 设设1. 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；；2. 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, , 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；；3. 3. T 天生产一次（周期）天生产一次（周期）, , 每次生产每次生产Q 件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；4. 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

为方便起见，时间和产量都作为连续量处理离散问题连续化处理离散问题连续化处理!建建 模模 目目 的的 设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均值最小模模 型型 建建 立立贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t),显然是以显然是以T为周期的函数为周期的函数.t=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.0tqTQr 由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费用用. .由于准备费为常数由于准备费为常数, ,下面的重点是要计算下面的重点是要计算贮存费贮存费. .注意注意到到q q( (t t) )是变化的是变化的, ,故故计算计算贮存费需用元素法贮存费需用元素法( (定积分定积分).).以以t为积分变量为积分变量,[0,T]为积分区间为积分区间,在积分区间取微分区间在积分区间取微分区间[t,t+dt],则贮存费微分为则贮存费微分为dc=c2 q(t)dt一个周期的贮存费为一个周期的贮存费为0tqTQrA=QT/2一个周期的总费用为一个周期的总费用为每天总费用平均值（目标函数）为每天总费用平均值（目标函数）为于是所求模型为于是所求模型为模型求解模型求解 模型求解结果在经济学中称为模型求解结果在经济学中称为经济批量订货公式经济批量订货公式（（EOQ公式），公式），应用于订货、供应、存贮情形应用于订货、供应、存贮情形二、问题：每天总费用的平均值最小为什么要二、问题：每天总费用的平均值最小为什么要周期地等产量生产？周期地等产量生产？思考问题思考问题1——生产的周期性生产的周期性 日需求日需求100100件，准备费件，准备费50005000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1 1元。

元考虑考虑2020天的生产天的生产 10 10天生产一次天生产一次，每次，每次10001000件，贮存费件，贮存费900+800+…+100 =4500900+800+…+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元总计1900019000元每天费用每天费用950元元 先先9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产900900件，贮存费件，贮存费800+700+…+100 =3600800+700+…+100 =3600元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计86008600元 再再1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000+900+…+100 =55001000+900+…+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1050010500元总计1910019100元平均每天费用平均每天费用955元元 先先9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产10001000件，贮存费件，贮存费900+800+…+100 =4500900+800+…+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计95009500元。

元 再再1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产10001000件，贮存件，贮存费费1000+900+…+100 =55001000+900+…+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1050010500元总计2000020000元平均每天费用平均每天费用1000元元周期性地生产会使平均每天费用减少周期性地生产会使平均每天费用减少思考问题思考问题2——生产的等量性生产的等量性 日需求日需求100100件，准备费件，准备费50005000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1 1元考虑考虑2020天的生产天的生产 10 10天生产一次天生产一次，每次，每次10001000件，贮存费件，贮存费900 + 800 900 + 800 +…+100 =4500+…+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元总计1900019000元每天费用每天费用950元元 先先1010天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000 1000 +900+…+200 =5400+900+…+200 =5400元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1040010400元。

元 再再1010天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产900900件，贮存费件，贮存费900 + 800 900 + 800 +…+100 =4500+…+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计95009500元总计1990019900元元平均每天费用平均每天费用995元元 先先1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000+900+…+200+100 =55001000+900+…+200+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小元，小计计1050010500元 再再9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产900900件，贮存件，贮存费费800+700+…+100 =3600800+700+…+100 =3600元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计95009500元总计1910019100元平均每天费用平均每天费用955元元 等量地生产会使平均每天费用减少由此可见，等量地生产会使平均每天费用减少由此可见，必必须周期地等量生产！须周期地等量生产！因此有模型因此有模型 在一段时间在一段时间nT天内需分天内需分n次生产数量为次生产数量为nQ的产品的产品,时时间间隔依次为间间隔依次为T1、、T2、、…、、Tn，相应的各次生产数量依次，相应的各次生产数量依次为为Q1、、Q2、、…、、Qn.若每天需求量若每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每天每件贮存费每件贮存费 c2，则，则求解结果为求解结果为认识二：认识二：对问题仔细分析，找出模型缺陷而完善模型。

对问题仔细分析，找出模型缺陷而完善模型 某地区有某地区有n（（n≥2）个商品粮生产基地）个商品粮生产基地,各基地的各基地的粮食数量分别为粮食数量分别为m1、、m2、、…、、mn (单位：吨），每吨单位：吨），每吨粮食一距离单位运费为粮食一距离单位运费为c,为使各基地到仓库的总运费为使各基地到仓库的总运费最小最小,问仓库如何选址问仓库如何选址?问问 题题3.3.仓库选址仓库选址模模 型型 假假 设设 1. 1.各商品粮生产基地的粮食集中于一处；各商品粮生产基地的粮食集中于一处；2.2.各各商品粮生产基地及仓库看作点；商品粮生产基地及仓库看作点；3.3.各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑模模 型型 建建 立立 建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系xOy，各商品粮生产基地的，各商品粮生产基地的坐标坐标分别为（分别为（xi,yi),i=1,2, …,n;仓库的坐标为仓库的坐标为（（x, ,y),则各商品粮则各商品粮生产基地到仓库的总运费为生产基地到仓库的总运费为于是模型为于是模型为模型求解模型求解由由有有 对一般对一般n求解方程组（求解方程组（2）有一定困难！但）有一定困难！但n=2时比时比较容易求得仓库坐标较容易求得仓库坐标 自然推测对一般的自然推测对一般的n，方程组（，方程组（2）的求解结果为）的求解结果为 容易验证（容易验证（4）满足方程组（）满足方程组（2）。

下面考察（）下面考察（4）式）式 这一结果可以这一结果可以解释解释为为 平面平面n个具有质量个具有质量mi的质点的质点（（xi,yi),i=1,2, …,n的质心的质心坐标就为坐标就为（（x*, ,y*) 再认识三：再认识三：分析模型结果，寻找更为简单的模分析模型结果，寻找更为简单的模型或其它建模方法型或其它建模方法 由此可以如下建立模型：由此可以如下建立模型： 把把n个分别拥有粮食个分别拥有粮食mi吨的商品粮生产基地吨的商品粮生产基地类比为类比为n个个具有质量具有质量mi的质点的质点（（xi,yi),i=1,2, …,n，，则总运费最小则总运费最小的仓库位置就是这的仓库位置就是这n个质点的质心个质点的质心（（x*, ,y*) 这是一种建立数学模型的方法：类比法这是一种建立数学模型的方法：类比法4.4.蛛网模型蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡模模 型型gx0y0P0fxy0xk~第第k时段商品数量时段商品数量；；yk~第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，，则则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 xy0fgy0x0P0设设x1偏离偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg  曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 应用应用 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核核威慑战略威慑战略”，核军备竞赛不断升级。

核军备竞赛不断升级 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议系列的核裁军协议 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态以双方以双方( (战略战略) )核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；部核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击给对方重要目标以毁灭性的打击 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地能攻击对方的一个核导弹基地 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。

度和另一方的防御能力决定模模型型假假设设蛛蛛网网模模型型y=f(x)~甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数；枚导弹，乙方所需的最少导弹数；x=g(y)~乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数；枚导弹，甲方所需的最少导弹数；当当 x=0时时 y=y0，，y0~乙方的乙方的威慑值xyy00y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P~平衡点平衡点( (双方最少导弹数双方最少导弹数) )乙安全线乙安全线 其它应用：扩大出口或增加内需提高就业人数；混其它应用：扩大出口或增加内需提高就业人数；混沌 再认识四：再认识四：理解模型，寻找模型的应用理解模型，寻找模型的应用。