二重积分的对称性1.docx

情形一：积分区域 D 关于坐标轴对称定理4设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当f (x, - y) = - f (x, y)(即f (x, y)是关于y的奇函数)时，有D2)当 f(x,- y) = f(x, y) (即 f(x, y) 是关于 y 的偶函数)时，有JJ f ( x , y ) d xd y = 2 JJ f ( x , y ) d xd yD1其中D是由x轴分割D所得到的一半区域1D解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且例5计算I = JJ ( xy + y 3 ) dxd y，其中D为由y2 = 2 x与x = 2围成的区域f (x, - y ) = - (xy + y 3) = - f (x, y )即 f(x, y) 是关于 y 的奇函数， 由定理1有D类似地，有JJ f ( x y + y 3 ) d x d y = 0 .定理5设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则JJDf (x, y )dxd y =2 JJ f ( x , y ) dxd y ,当 f ( - x< d 20,当 f (— x , y ) = f ( x , y ).y ) = f (x, y ).其中D是由y轴分割D所得到的一半区域。

2解例6 计算I = JJ 2x y d其冲y DDy = 2 x + 2 ; y =-及什 2所围如 图 所 示 ， D 关 于 y 轴 对 称 ，为由并且f (- x, y ) = x2 y = f (x, y )，即被积分函数是关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有：I = ff x 2 yd xd y = 2 ff x 2 yd xd y = 2 f 1 d x f" 2 x 2 yd xd y =—15D1且 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，则定理6设二元函数f (x, y)在平面区域D连续,1)当 f (— x, y) = — f (x, y) 或 f (x, — y) =ff f ( x , y ) d x d y = 02)当 f ( — x , y ) = f ( x , — y ) = f ( x , y ) 时,有ff f ( x , y ) d xd y = 4 ff f ( x , y ) d xd yD1其中D为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域19例7 计算二重积分I = ff(x + y ) d xd y，其中 D :解：如图所示，D关于X轴和y轴均对称，且被积分函数关于X和y是偶函数，即有f ( x , — y ) = f ( — x , y ) = f ( x , y )，由定理2,得| + | y I) d xdy = 4 ff (|x | +| y I) d xd yD1象限部分 ， 由对 称 性知,< 1+xyffxdy = ffD1D14 ff(|x | + |y I) dxd y = 4 ff ( |x | + |x I) d x d y8 ff |x dxdD1D1D1D1情形二、 积分区域 D 关于原点对称定理7设平面区域D = D + D，且D , D关于原点对称，则当D上连续函数满足1 2 1 21) f (— x, — y) = f (x, y)时，有 ff f ( x , y ) dxd y = 2 ff f ( x , y ) dxd y2) f (- x, — y) = — f (x, y)时，有 ff f ( x , y ) dxd y = 0 .例8 计算二重积分ff ( x 3 + y 3) dxd y , D为y = x3与y = x所围区域.解:如图所示，区域D关于原点对称，对于被积函数f (x, y) = x3 + y3，有f (- x, - y ) = (- x户 + (- y )3 = - (x3 + y 3) = - f (x, y )，有定理7,得JJ ( x 3 + y 3 ) dxdy = 0 .情形三、 积分区域D关于直线y = + x对称定理8设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D=D + D , D D关于直线y121,称， 则JJ f ( x , y ) dxdy =JJ f ( x , y ) dxdy .D1D22)当 f ( y , x) = - f (x, y )时, 有JJ f ( x, y )dxd y=0.3)当 f (y, x) = f (x, y)时，有 JJf ( x , y )d xd y2 JJ f ( x ,)d xd y .D1例9 求 I = JJ (竺R2所围.a 2 b2解:积分区域D关于直线y = x对称，由定理8,得x2( +a2y 2)dxdy = JJb2y 2 x 2 ( + ) dxdy ,z x 2 y 2、…( + ) dxdya 2 b2a2)dxdy b2+ JJ (兰a2x2 )dxdy ]b21 -(2—+ 丄)JJ ( x 2a 2 b2y 2) dxd y =11( +2 a 2—)J?" d 9 J R r 2 rd r兀 11R 4 ( + ).4 a 2 b2类似地，可得：x 对称，定理9设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D = D + D , D D关于直线y =1 2 1, 2则 (1)当 f (- y , - x) = - f (x, y )，则有 JJ f ( x , y ) d xd y = 0 ;⑵当 f (- y, - x) = f (x, y)，则有 JJ f ( xy )d xd y =2 JJf ( x , y ) d xd y .D D 1例 10 计算 I = JJ (x2 + y2) arcsin( x + y) dxdy ,其中 D 为D区域：0 < x < 1 , — 1 < y < 0 .解：如图所示,积分区域D关于直线y = - x对称,且满足f (- y, - x) = - f (x, y),由以上性质, 得：I = JJ (x 2 + y 2 ) arcsin ( x + y ) dxd y = 0 .D：在进行二重积分计算时, 善于观察被积函数的积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分的解答大大简化。