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第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程一元二次方程复习一元二次方程复习一元二次方程定义和一般形式解法根的判别式根与系数的关系应用实际应用实际应用—传播、变化率、利润、图形变化传播、变化率、利润、图形变化思想方法转化思想；转化思想； 配方法、换元法配方法、换元法直接开平方法配方法公式法因式分解法ax2+bx+c=0 (a≠0)一元二次方程的概念 1.下列方程中，是关于下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（ ））A．．3(x+1)2=2(x+1) B．．ax² +ｂｂx+c=0 C．．x2+xy+y2=0 D．．x2+2x=x2等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.特点: ①都是整式方程. ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.A2.若（若（m+2））x 2 +（（m-2））x-2=0是关于是关于x的一元二次方的一元二次方程则程则m ≠－－21.方程方程2ax2 -2bx+a=4x2(1)在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元二次方程？(2)在什么条件下此方程为一元一次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？(a、、b、、c为常数，a≠0）一元二次方程的一般形式a＝＝2，，b≠0a≠22.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 其中常数项为 .二次项为 .一次项为 .二次项系数为 .一次项系数为 .x2-x-9=0-9x21-1-x3.当k 时，方程 是关于x的一元二次方程.≠2能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的根1.已知已知x＝＝-1是方程是方程x²-ax＋＋6＝＝0的一个根的一个根.则则a＝＝___,另另一个根为一个根为__.- 7-62.若关于x的一元二次方程 的一个根为0.则a的值为（ ）BA.1 B.-1 C. 1或 -1 D.3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = .2解一元二次方程的方法一元二次方程的解法一元二次方程的解法(1)(1)直接开平方法直接开平方法 (2)(2)配方法配方法(3)(3)公式法公式法(4)(4)因式分解法因式分解法解题步骤题目形式例例 解方程解方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法：：解：解： 注：注：当一元二次方程当一元二次方程二次项系数为二次项系数为1且一次项系数且一次项系数为偶数为偶数时常用时常用配方法配方法比较简便。

比较简便配方法配方法））——配方时应注意配方时应注意①①先将二次项系数先将二次项系数转化为转化为1②②两边都加上两边都加上一次一次项系数一半项系数一半的平方的平方阅阅 读读例例 解方程解方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法：：解：解：（（公式法公式法）） 注：注：当一元二次方程当一元二次方程二次项系数不为二次项系数不为1且难以用因式且难以用因式分解分解时常用时常用公式法公式法比较简便比较简便阅阅 读读（（因式分解法因式分解法）） 解解:原方程化为原方程化为 （（y+2) 2﹣3（（y+2））=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 ∴ ∴y1=-2 y2=1把把y+2看作一看作一个整体，分解个整体，分解因式，化为因式，化为a×b=0形式。

形式例例 解方程解方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法：：阅阅 读读填空：填空： ① ① x x2 2-3x+1=0 ② 3x-3x+1=0 ② 3x2 2-1=0 ③ -3t-1=0 ③ -3t2 2+t=0+t=0 ④ x ④ x2 2-4x=2 ⑤ 2x-4x=2 ⑤ 2x2 2-3x+1=0 ⑥ 5(m+2)-3x+1=0 ⑥ 5(m+2)2 2=8=8 ⑦ 3y ⑦ 3y2 2-y-1=0 ⑧ 2x-y-1=0 ⑧ 2x2 2+4x-1=0 ⑨ 2x+4x-1=0 ⑨ 2x2 2-5x-3=0-5x-3=0 适合运用直接开平方法适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法适合运用因式分解法 适合运用公式法适合运用公式法 适合运用配方法适合运用配方法 ② 3x② 3x2 2-1=0-1=0 ⑥ 5(m+2)⑥ 5(m+2)2 2=8=8③ -3t③ -3t2 2+t=0+t=0①①⑦⑦⑧⑧④ x④ x2 2-4x=2-4x=2 选择方法的顺序是：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 →分解因式法分解因式法 →公式法公式法→配方法配方法解题方法选择解题方法选择 ② 3x② 3x2 2-1=0-1=0⑨⑨⑤⑤方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根方程没有实数根一元二次方程的根的判别式△ △=b2-4ac的根的判别式是：的根的判别式是：二次三项式二次三项式 是是 完全平方式的条件是：完全平方式的条件是：•1、方程、方程2x2+3x－－k=0根的判别式是根的判别式是 ；； 当当k 时，方程有实根。

时，方程有实根•2、方程、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则有两个相等实数根，则m= •3、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2+(2m－－1)x－－2=0的根的的根的判别式的值等于判别式的值等于4，则，则m= 练习练习一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：若若 ax2+bx+c=0 的两根的两根为 x1、、x2，，则 x1+x2=_______；；x1x2=_______；；反反过来，以来，以x1、、x2为根（二次根（二次项系数系数为1）的一元二）的一元二次方程次方程为___________________ .x2- -(x1+x2)x+x1x2=0韦达定理：韦达定理：一元二次方程的根与系数关系•１、已知方程１、已知方程5x2+mx－－10=0的一根是－的一根是－5，则方，则方程的另一根是程的另一根是 ，，m= •2、、 已知方程已知方程x2+4x－－2m=0的一个根的一个根α比另一个根比另一个根β小小4，则，则α= ；；β= ；；m= .•3、已知方程、已知方程x2－－mx+2=0的两根互为相反数，则的两根互为相反数，则m= 。

练习练习•1.1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm4cm的小正的小正方形方形, ,做成一个无盖的盒子做成一个无盖的盒子. .已知盒子的容积是已知盒子的容积是400cm400cm3 3, ,求原铁皮的边长求原铁皮的边长. . 一元二次方程的应用举例w 2 .某果园有某果园有100棵桃树棵桃树,一棵桃树平均结一棵桃树平均结1000个桃子个桃子,现准现准备多种一些桃树以提高产量备多种一些桃树以提高产量.试验发现试验发现,每多种一棵桃树每多种一棵桃树,每每棵桃树的产量就会减少棵桃树的产量就会减少2个个.如果要使产量增加如果要使产量增加15.2%,那么那么应种多少棵桃树应种多少棵桃树?•如图，如图，A、、B、、C、、D为矩形的四个顶点，为矩形的四个顶点，AB=16 cm，，AD=6 cm，动点，动点P、、Q分别从点分别从点A、、C同时出发，点同时出发，点P以以3 cm/s的速度向点的速度向点B移动，一直到达移动，一直到达B为止，点为止，点Q以以2 cm/s的速度向的速度向D移动移动.•（（1））P、、Q两点从出发开始到几秒时四边形两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面的面积为积为33 cm2？？•（（2））P、、Q两点从出发开始到几秒时，点两点从出发开始到几秒时，点P和点和点Q的距的距离是离是10 cm？？ 思考题思考题。