教育专题：从认知心理学到数学教育.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,从认知心理学到数学教育,谢明初 博士,华南师范大学数学科学学院教授,广东省数学教育研究会副秘书长,教育部义务教育教科书审查委员会专家,背景观点,1.,似乎数学家和心理学家坐在一起后并没有什么共同的话题EfrainFishbein,2.,勒贝格（,Lebesgue,，,Henri,Lon,）、庞加莱（,Henri,Poincar,）、阿达码（,Hardmard,）、波利亚（,George,Polya,）对数学创造心理学做出重要贡献推荐文献：,（法）阿达玛著，陈植荫，肖奚安译，数学领域中的发明心理学，大连理工大学出版社；,波利亚，,G.,Polya,，怎样解题，冯承天,/,涂泓译，上海科技教育出版社；,波利亚，,G.,Polya,，数学与猜想，李志尧译，科学出版社；,波利亚，,G.,Polya,，数学的发现,-,对解题的理解研究和讲授，,刘景麟,译，科学出版社,3.1960,年代以后心理学越来越多的关心数学教育,一、认知心理学研究什么,?,1,研究个案：,蜡烛问题,利用给定的工具将蜡烛点燃然后固定在墙壁上。

汉诺塔问题,有三根杆子,A,，,B,，,C,A,杆上有若干碟子,每次移动一块碟子，小的只能叠在大的上面,把所有碟子从,A,杆全部移到,B,杆上求移动的方法国际象棋,问题,上图显示的是一个残缺的国际象棋棋盘,它有两个角被切掉了,现只剩下,62,个正方形假若你有,31,张骨牌,每一张恰好可以遮盖棋盘上两个正方形你是否能够用骨牌把这个棋盘上的所有部分盖住呢,?,悬绳相连,问题,利用给定的工具将两根悬挂在天花板上的绳子接在一起,2,研究特点：,重视思维过程,实证研究,探幽入微式的研究,3,心理学家、数学家、数学教学法专家有什么不同？,心理学家：,以数学为题材去研究一般的认知活动,数学家：,关心数学创造发明过程的心理机制（内省法）,数学教学法专家：,寻求对数学学习过程的理解并以此为基础改善数学教育,4,为什么传统的心理学对数学教育的贡献不大？,20,世纪中期的心理学：倾向于使用那些与学校学习无关的研究问题,（没有深入到数学学科内部）,20,世纪后期的,认知心理学：,心理学家最终开始关注学校里的学习问题，不局限简单数学问题而深入到几何、代数乃至高等数学中的心理学问题,二、认知心理学家与数学教学法专家关于数学学习的共同观点,在数学教育的第七次国际会议的数学学习理论小组会上，著名认知心理学家哈塔罗（,Hatano,）列举知识获得的五个特征，他认为多数认知心理学家和数学教育专家对此表示认同。

知识是通过认知主体的积极建构而获得，而不仅仅是通过传递而实现的知识的获得涉及到重新构造这不仅仅指个人的知识的数量逐渐增加，而且也指知识的质量也发生了变化（知识得到了重组），不能把儿童视为“小”的成人知识获得的过程既是一个内部的过程也是一个外部过程（受到诸如语言、符号之类的文化产品的影响）这就部分的解释了为什么不同的个体获得相似但又绝非等同的知识知识具有学科特殊性知识的获得是置于情境的三、,认知心理学对数学课程改革有什么不同的见解？,1,关于双基教学,课程改革流行看法：双基教学已过时；双基教学,=,死记硬背，双基教学妨碍创造性思维发挥,认知心理学的观点：双基教学是一种积极的教学,把数学知识看成是一个网络：基础知识，基本技能就是这个网络上的结点双基教学的精髓：,知识求联，技能求变,（变式教学）,双基教学的理论基础：知识的可分解性,双基教学的优势：减轻认知负荷，促进高级思维能力的发展,值得注意的问题：防止将双基的范围无限扩大,不应把双基看成绝对不变,不应视双基教学为全部的数学教学,2,关于建构主义,流行的观点：知识不能由教师传递，它只能由学习者主动建构,认知心理学的观点：皮亚杰的认识发生理论提到了两个概念,一是同化，一是顺应。

同化,将新的经验纳入到已有认知结构（接受）,顺应,调整自己的思想以适应新的任务（建构）,同化在促进知识的顺应过程中起到了关键作用，没有同化，顺应就不能进行安德林,ACT-R,模式：教师的教学旨在确定例子的表征，正是从这个例子的表征中，学习者建构自己的理解澄清几个概念：,接受学习机械学习,发现学习意义学习,奥苏贝尔：认为发现学习优于接受学习的有效证据并不存在似乎热衷发现学习的人是在相互取证：通过引用彼此的观点作为证据，通过分析概括一些模棱两可甚至负面发现而做出判断结论,:,建构主义是一个哲学观而不是一种教学法,建构主义并不排斥直接教学,(,讲授,),3,关于数学情境教学,流行的观点：抽象性的训练没有作用，所有数学学习都必须在发生在“真实的情境”之中,莱夫（,Lave,）的研究：在美国橘县，家庭主妇们在超市购物中算帐算得非常好，但是她们对同样的在学校里用纸笔来做的算术问题却非常糟糕卡拉尔（,Carraisher,）和施利曼（,Schliman,）的观察：巴西儿童在街道做买卖时数学做得非常好，但是却不会做学校课本中同等难度的数学问题认知心理学的观点：抽象教学导致迁移成功，具体情境的教学导致迁移的失败,因为，当数学知识仅仅在单一情境中学习学习的时候，它就越加具有情境独特性。

希格莱的研究：让被试解决涉及到混合溶液的代数应用题，有些被试在训练时提供混合溶液的图象，而其它被训练时使用的是代表数学基本关系的表格，结果表明抽象训练组在做类似的数学问题时迁移得更好,结论 数学的情境化不能走极端,4,数学与生活的联系,流行的观点：数学问题必须源于真实生活,认知心理学的观点：要让提供给学生的问题都是真正的实际问题，既无必要，也不可能，一个问题是真实的还是虚拟的并不很重要，关键这个问题本身能否激发学生的动机，使他们参与到认知过程之中，而不在于是否源于现实实生活,一百五十多年前德摩根（,DeMorgan,）举了一例子：,一个人有两匹马和一副价值,50,英镑的马鞍，现在如果把鞍子配在第一匹马上，其价值是第一匹马的两倍，如果把鞍子配在第二匹马上，其价值将是第一匹马的三倍，问这两匹马各值多少钱？,“鸡兔同笼”问题：,大约在,1500,年前，,孙子算经,中记载了这样一个有趣的问题书中说：“,今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何,？,”“狼、羊和白菜过河”问题有个人要带狼、羊和白菜过河，但是船太小，除了人外，船只能运载一样东西，但是如果人不在，狼会吃掉羊，羊会吃掉白菜。

问该如何运输才能使所有东西安全到达对岸弗雷登塔尔的宗告：要想应用数学是不能够从数学的应用中学得到的，因为在实际问题中所运用的数学知识缺乏数学的最大的效能和灵活性,5,关于合作学习,流行的观点,：合作学习应成为一个普遍学习方式,认知心理学的观点,：合作学习比独立学习更有效缺乏实证依据,.,合作学习并非学习一个灵丹妙药，有效学习民族特点、文化、性格特征有关6,关于学习评价,流行的观点：实施主观性评价,认知心理学的观点：,主观判断开启了评价的文化偏见大门采用“学生是裁判”，那么何时教学是失败，何时教学是成功就无法判断四、,认知心理学走进课堂,西蒙数学教学法部分实验成果,(,一,),教学方法,：,基于人类自适应学习理论基础上的数学教学包括：,例中学（,learning from example,）：,即通过考察实例进行学习做中学（,learning by doing,）：,即通过解决具体的问题进行学习,(,二,),教学目标,：,激发学生产生学习兴趣培养学生严谨认真学习态度训练学生科学的学习方法促进学生对数学的思想方法理解提高学生的学习成绩和认知能力三,),认知心理学的原理,陈述性知识程序性知识,初中数学案例,1,锐角三角函数,6.1.1,正弦和余弦,(,一,),1.,角的对边,:,(1),如图,6-1,(2),如图,6-2,BC,AC,AB,在直角三角形,ABC,中,C=90,A,的对边是,BC,B,的对边是,AC,C,的对边是,AB,.,在直角三角形,ABC,中,C=90,A,的对边是,B,的对边是,C,的对边是,.,A,C,B,图,6-1,B,A,图,6-2,C,(3),如图,6-3,小结,:,不论直角三角形三个顶点位置如何,A,的对边是,BC,B,的对边是,AC,C,的对边是,AB.,即两锐角的对边分别是两条直角边,直角的对边是斜边,.,BC,AC,AB,AC,AB,在直角三角形,ABC,中,C=90,A,的对边是,B,的对边是,C,的对边是,.,以上三个图中,A,的对边是,BC,B,的对边是,C,的对边是,.,A,B,C,图,6-3,角的正弦,(1),如图,6-4,1.5,90,m,在,RtABC,中，,C=90,A=30.,若,AB=3cm,则,BC=,cm.,(3),沿着倾斜角为,30,的斜坡从,A,到,B,前进,180,米,这时,B,处离水平面的高度是 ,A,的对边,斜边,=,=,=,(2),沿着倾斜角为,30,的斜坡从,A,到,B,前进,100,米,这时,B,处离水平面的高度是,50m,A,的对边,斜边,=,BC,AB,=,50,100,=,2,1,(4),沿着倾斜角为,30,的斜坡从,A,到,B,前进,a,米,这时,B,处离水平面的高度是,A,的对边,斜边,=,图,6-4,A,C,B,(5),如图,6-5,45,BC,2,+AC,2,2,在等腰直角三角形,ABC,中,C=90,A=,B=,.,=,.,A,的对边,斜边,当,A=30,时,不管直角三角形大小如何,A,的对边与斜边的比值不变,都等于,2,1,.,.,A,B,C,图,6-5,当,A=45,时,不管直角三角形的大小如何,A,的对边与斜边的比值都不变,都等于,(6),在等腰直角三角形,ABC,中,C=90.,由勾股定理可得,AB,2,=,又,BC=AC.,所以,AB,2,=,BC,2,.AB=,BC.,=,=,A,的对边,斜边,=,BC,AB,(7),如图,6-6,小结：,只要锐角,A,的大小确定，那么用它作为一个角画出的直角三角形中，,在这些直角三角形中，,A,的对边与斜边的比值是一个固定的值,。

A,的对边,斜边,是一个值,.,我们把锐角,A,的对,固 定,RtAB,1,C,1,、,RtAB,2,C,2,以及,RtAB,3,C,3,中有一个锐角,A,相等,B,1,C,1,B,2,C,2,B,3,C,3,，,则 ,AB,1,C,1,AB,2,C,2,AB,3,C,3,，,所以有,=,=,A,B,1,B,2,B,3,C,1,C,2,C,3,图,6-6,A,的对边,斜边,边与斜边的比叫做角,A,的正弦,.,记作,sinA,即,sinA,=,将军饮马与路程最短,问题一,:,（如图,1,）河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，问修在河边什么地方，可使所用的水管最短？（写出已知、求作和作法）说一说理由这道题还有另外一个说法初中数学案例,2,张村,李庄,水泵站,图,1,如图,2,从,A,地出发，到笔直的河岸边去饮马，然后再去,B,地；走什么样的践线最短呢？,相传，上面问题是古希腊一位身经百战的将军在作战的时候实际遇到的，将军百思不知其解，于是向居住在亚历山大久负盛名的学者海伦求教由于这段典故，上述问题成了一个经典名题，后人称为“,将军饮马问题,”B,A,河岸,图,2,海伦的解法如下：,如图,3,作,B,点关于河岸,L,的对称点,B,连结,AB,与,L,相交于,C,，则,C,点即为将军所找的饮水点。

具体理由如下：,如图,4,设,D,是,L,上其它任意一点（不同于,C,）,由于,A,，,B,，,D,构成一个三角形，,所以,AD+DB,式,AB,又因为,B,是,B,关于,L,的对称点,所以,L,垂直平分线段,BB,由此得到,DB=,DB,，,CB=,CB,进一步得,AD+DB=AD+DB,AB=AC+CB=AC+CB,代入不等式得：,AD+DB,AC+CB,也就是说在,C,处饮水所走距离最短,到其它位置所。