2022年高中数学人教B版必修2《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》青年教师参赛教学设计.pdf

名师精编优秀教案赵爽弦图中的不等式性质的再探究教学设计一教学内容解析基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚由两个正数通过加法、 乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、 图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、 数学之简、 数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素赵爽弦图中的不等式性质的再探究是基本不等式 内容的延伸 教学中选用 “赵爽弦图”作为“数学探究”的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知结构，使学生更深刻体会数学的文化价值和应用价值基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和基本不等式的基础上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵. 二教学目标设置本节课立足学生的思维水平和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现能力，具体教学目标确定为以下三点：（1）利用赵爽弦图，深入挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系（即基本不等式链）。

2）启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历基本不等式链的发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，提高数学的归纳能力和抽象能力3）通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生善于思考、乐于探索的良好品质. 三学情分析学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导基本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系（勾股定理222cba）到不等关系（基本不等式abba2） ，从平面几何到不等式的研究，是知识和思维的延续、拓展 . 此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知基础，也具有了一定的观察分析、抽象概括能力，并能用TI （图形计算器）解决常名师精编优秀教案用的数学问题 本节课正是以学生已有知识为出发点，突出问题引导，着眼多元联系， 让学生对赵爽弦图进行深度剖析，使不等式性质的认识结构更加完善基于以上分析，本节课的教学难点确定为：利用赵爽弦图，通过数形结合发现、探究、深化和完善对基本不等式链baabbaba1122222的认识 . 四教学策略分析创设问题情境，以问题链引导学生学习已成为数学教学的一条基本原则。

本节课将基本不等式链的探究发现设计成环环相扣、层次分明的问题链，结合启发式教学原则，采用学生探究和教师讲授相结合的方法，结合TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）辅助教学，通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活动，使学生充分地经历基本不等式链baabbaba1122222的探究发现和证明应用的过程借助每一个问题的解决，把学生的思考逐步推向深入，使学生的学习过程成为在教师引导下的“探究发现”的过程，磨练学生的思维，有效地提升数学素养为突破难点，在教学中始终抓住图形的几何性质，发挥几何图形的功能，贯穿数形结合的思想， 在新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，引导学生通过观察，挖掘赵爽弦图中有关线段、 面积的度量关系，大胆联想，探究发现其中蕴含的不等关系，借助图形计算器辅助实验， 最后代数证明 在这个过程中， 揭示了从特殊到一般，再回到特殊的认知规律五教学过程依据知识的发生、 发展、深化的过程和学生的思维规律，本节课设计了以下6 个教学环节教学环节教学程序 ( 师生双向活动) 设计意图名师精编优秀教案一、再现弦图，唤醒知识师： 20XX 年 8 月国际数学家大会在北京召开，这个大会颁发的菲尔茨奖相当于数学界的诺贝尔奖. 大会的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客 . 师： （如图 1，2）请同学们回忆一下以前借助赵爽弦图主要研究了什么？（图 1）（图 2）赵爽弦图的直观再现，基本不等式的重新回顾，唤醒了学生对变与不变的关系、整体与局部的关系、等与不等的关系、一般与特殊的关系的感受，促使学生在直观丰富的情境下感知公式的基本特征和形式，有效强化“抽象知识”和“几何原型”之间的本质联系 . 二、追问弦图，体验发现师：回到弦图，ba,是ABERt的两条直角边， 那么，在ABE中是否还存在其它关于ba,的不等关系？生 3：ba是三角形两边之和，所以联想三角形三边关系得到cba，即22baba，注意到 ， 当0a或0b时 ， 上 式 也 成 立 ， 所 以22baba. 师：这个发现源于三角形的最基本性质，得到的不等式关系精美简约，下面请大家观察弦图中的ABERt，思考它是否还蕴含其它的几何关系？教师通过对弦图中几何性质的追问，引导学生对本质问题进行深刻挖掘，领悟几何与代数之间的内在联系，从赵爽弦图中直角三角形的直角边、斜边、斜边上的中线、斜边上的高的几何关系中引申出基本不等式及其衍生结论，让学生自由自在、灵活地思考，促进学生在原有知识和经验基础上的主动建构，实现了知识的自然过渡和传承间的 “春风化雨，润物无声 . ”名师精编优秀教案三、深探弦图，跨界交汇四、重构弦图，彰显创意师：上述过程中， 我们着重从平面几何中线段的关系去挖掘和思考ba,的不等关系 . 如果我们用动态的观点研究弦图， 那么能否有新的视角和新的手段不等关系呢？现在我们让赵爽弦图动起来，通过观察看到ba,在变化，c不变，那么ba的变化是否有什么规律？师：赵爽弦图是在正方形中构造直角三角形，请大家思考能否在其它图形中构造类似的弦图来推导基本不等式？展示学生作品通过搭建符合学生认知规律的脚手架，在学生亲手操作、亲历体验过程中，在运动和变化的过程中进行跨界联想，多元交汇，从三角函数，解析几何等角度观察、分析和解决问题，不断丰富知识探究过程的真切感和思考层次，使得学生对弦图的探究能够“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” ，从不同角度理解数学的本质. 通过让学生参与设计的一系列问题来引导和激发学生的参与意识、 创新意识，培养探究问题的能力，提升思维的层次。

学生能够运用类比的方法猜想并重构赵爽弦图，在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一种创意五、回顾小结师：今天我们通过挖掘赵爽弦图中的几何性质，用不同方法得到基本不等式链baabbaba1122222，在探究的过程引领学生进行回顾总结，名师精编优秀教案，理清脉络中我们运用了特殊到一般、数形结合、转化与化归、类比联想等数学思想方法归纳本节课内容，提炼思想方法，总结学习经验，完善认知结构作业小组合作设计弦图，并挖掘其中蕴含的不等式性质。