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1转化思想转化思想中考专题复习之三中考专题复习之三2浙江省衢州华茂外国语学校 余金耀3一一. . 数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次: : 数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方法法法法( ( ( (或思维方法或思维方法或思维方法或思维方法) ) ) )数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等 分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分类讨论思想、类讨论思想、类讨论思想、类讨论思想、数形结数形结数形结数形结合思想合思想合思想合思想、、、、转化思想转化思想转化思想转化思想等等等等4转化思想转化思想•转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

乎是无处不在的5•求解二元一次方程组时，把多元问题转化为一元问题；解一求解二元一次方程组时，把多元问题转化为一元问题；解一元二次方程时，采用因式分解法、配方法，将二次问题转化元二次方程时，采用因式分解法、配方法，将二次问题转化（降次）为一次问题；解分式方程时，通过去分母，把分式（降次）为一次问题；解分式方程时，通过去分母，把分式方程转化为整式方程方程转化为整式方程•几何问题中，把复杂图形分解为几个基本图形，或构造基本几何问题中，把复杂图形分解为几个基本图形，或构造基本图形；把不规则图形面积转化为规则图形面积；把多边形问图形；把不规则图形面积转化为规则图形面积；把多边形问题转化为三角形和四边形问题，等等题转化为三角形和四边形问题，等等转化思想转化思想6“牧牧童童放放牛牛”问问题题是是数数学学问问题题中中的的经经典典题题目目，，主主要要转转化化成成“两两点点之之间间线线段段最最短短问问题题”，，在在最最近近几几年年的的中中招招试试题题及及竞竞赛赛中中，，该该问问题题经经过过不不同同的的转转化化及及演演变变，，一一 一一浮浮现现在在我我们们的的眼眼前前，，使使我我们们目目不不暇暇接接，，顾顾此此失失彼彼。

因因此此，，我我们们有有必必要要作作一一下下总总结结，，找找出出其其中中的的规规律律，，以以做到屡战屡胜的效果做到屡战屡胜的效果7• A• B原题原题：如图，一位小牧童，从：如图，一位小牧童，从A地出发，地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？所走的路程最短？8• B’C• • A• B解：先求出解：先求出B关于河岸的对称点关于河岸的对称点B’’，，连接连接ABAB，，，，设它与河岸线交于设它与河岸线交于C C，则，则C C点就是所选的满足点就是所选的满足题意的位置题意的位置即牧童赶着牛群从即牧童赶着牛群从A地出发，到地出发，到C点饮水，点饮水，再到再到B地，这条路线最短地，这条路线最短9• B’C• • A• B• D下面证明为何下面证明为何C点最好点最好若饮水点不在若饮水点不在C点，不妨设在点，不妨设在D点，点，则牧童所走路线长为则牧童所走路线长为AD+BD，，下面只要证明下面只要证明AD+BD> >AC+BC即可连接即可连接B’’D，，由于由于B、、B’’关于河岸线对称，关于河岸线对称，因此有因此有BC= B’’C C，，BD=BD=B’’D，，所以所以AD+BD= AD+ B’’D，，AC+BC= AC+ B’’C=AC=A’’B’’在在△△AD B’’中，有中，有AD+ B’’D> AB> AB，，，，从而从而AD+BD> > AC+BC即即C点点就是所选的满足题意的点。

就是所选的满足题意的点10• A• B• B• A• A’• B’• A’• B’LL延延伸伸一一：某某供供电电部部门门准准备备在在输输电电主主干干线线L上上连连接接一一个个分分支支线线路路，，分分支支点点为为M，，同同时时向向新新落落成成的的A、、B两两个个居居民民小小区区送送电电已已知知两两个个居居民民小小区区A、、B分分别别到到主主干干线线的的距距离离AA1=2千千米米，，BB1=1千千米米，，且且A1B1=4千千米米 （（1））如如果果居居民民小小区区A、、B位位于于主主干干线线L的的两两旁旁，，如如图图（（1））所所示示，，那那么么分分支支点点M在在什什么么地地方方时时总总路路线线最最短短？？最最短短线线路路的的长长度度是是多多少少千千米米？？（（2））如如果果居居民民小小区区A、、B位位于于主主干干线线L的的同同旁旁，，如如图图（（2））所所示示，，那那么么分分支支点点M在在什什么么地地方方时总路线最短？此时分支点时总路线最短？此时分支点M与与A1的距离是多少千米？的距离是多少千米？11ABCDMN延伸二延伸二：：如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，， M在在DC上，且上，且DM=2，，N是是AC 上一动点，则上一动点，则DN+MN的最小值是多少？的最小值是多少？12ABMNOP延伸三：延伸三：如图，如图，A是半圆上一个三等分点，是半圆上一个三等分点， B是弧是弧AN的中点，的中点，P是直径是直径MN上一动点，上一动点， ⊙⊙O O的半径为的半径为1 1，求，求AP+BPAP+BP的最小值。

的最小值13延伸四延伸四：如图所示，在边长为如图所示，在边长为6的菱形的菱形ABCD中，中， ∠∠DAB=600，，E为为AB的中点，的中点，F是是AC 上一动点，则上一动点，则EF+BF的最小值是多少？的最小值是多少？ABCDE••F14xyo•MPQ••延伸五：延伸五：在直角坐标系在直角坐标系XOY中中x轴上的动点轴上的动点M（（x,0））到定点到定点P（（5，，5），），Q（（2，，1））的距离分别为的距离分别为MP和和MQ，，那么当那么当MP+MQ取最小值时，点取最小值时，点M的横坐标的横坐标x=?15xyo•MPQ•••M0R•解：作点解：作点Q关于关于x轴的对称点轴的对称点R（（2，，-1），），设直线设直线PR的解析式的解析式 为为y=kx+b,于是有于是有解之解之k=2; b=-5所以直线所以直线PR的解析式为的解析式为y=2x-5,令令y=0，，解出解出x=2.5即为所求即为所求16下面证明，当下面证明，当M坐标为（坐标为（2.5, 0）使）使MP+MQ取最小值取最小值在在x轴上取任意点轴上取任意点M，，连接连接MP、、MQ、、MR，，因因为为点点Q关关于于x轴轴的的对对称称点点为为R，，易易知知x轴轴为为QR的的垂垂直直平平分线。

分线于是于是M0Q= M0 R，， MQ=MR由三角形不等式可知，由三角形不等式可知，MP+MQ PR又又PR=P M0 +M0 R= M0 P+ M0 QMP+MQ M0 P+ M0 Q即即M（（2.5, 0））使使MP+MQ取最小值取最小值.xyo•MPQ•••M0R•17基本练习 选择题1.如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AB∥ ∥CD，，∠∠D=2∠ ∠B，，AD=a，，CD=b，则，则AB的长的长为（为（￿￿￿￿））(A) 2a-b (B) 2b-a (C) a+b (D) a-bCABCD2.若等腰梯形的三边长分别为若等腰梯形的三边长分别为3，，4，，11，则，则这个等腰梯形的周长为（这个等腰梯形的周长为（ ））(A) 21 (B) 29 (C) 21或或29(D) 21或或22或或291818例５　例　例2（济南１８）当汽车在雨天行驶时，为了看清（济南１８）当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与与雨刷雨刷CD在在B处固定连接处固定连接(不能转动不能转动)，当杆，当杆AB绕绕A点点转动转动90°时，雨刷时，雨刷CD扫过的面积是多少呢扫过的面积是多少呢?小明仔细小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80 cm、、∠∠DBA=20°、、端点端点C、、D　与点　与点A的距离分别为的距离分别为115cm　　35 cm．．他经过认真思考只他经过认真思考只　选用了其中的部分数据就求　选用了其中的部分数据就求　得了结果，你知道小明是怎　得了结果，你知道小明是怎　样计算的吗　样计算的吗?也请你算一算雨也请你算一算雨　刷　刷CD扫过的面积为扫过的面积为￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿cm2　　(π取取3．．14)．．￿ ￿1919例5　例　例3（四川省（四川省8）如图，两块完全重合的正）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O作作0°～～90°的旋转，那么旋转时露出的的旋转，那么旋转时露出的△△ABC的面积的面积(S)随着旋转角度随着旋转角度(n)的变化而变的变化而变化，下面表示化，下面表示S与与n的关系的图象大致是的关系的图象大致是( ) 20•例例4 如图，如图，￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿中，中，BC＝＝4，，•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，，P为为BC上上一点，过点一点，过点P作作PD//AB，交，交AC于于D。

连结连结AP，问点，问点P在在BC上何处时，上何处时，￿⊿￿⊿APD 面积最大？面积最大？ 分析：分析：本题从已知条件上看本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得置关系转化为数量关系，得出函数解析式出函数解析式21 解：设解：设BP＝＝x，， 的面积为的面积为y 作作 于于H 则则 22•化简得￿￿￿￿￿•￿•配方得￿￿￿￿￿￿•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿即P为BC中点时，￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的面积最大•￿￿￿￿这时的面积最大值为2323•例5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，•求证EF＝　（AB－CD）•思路点拨：由∠A＋∠B＝90°，可考虑把∠A、∠B移到同一个三角形中，从而构造出一个直角三角形来　ABCDEFMN1224•证明：过E作FM∥AD交AB于M，作FN∥BC交AB于N，•∵DF∥AM　AD∥FM•∴四边形AMFD是平行四边形•∴∠1＝∠A　DF＝AM•同理可证∠2＝∠B.CF＝BN•∵∠A＋∠B＝90°•∴∠1＋∠2＝90°∴∠MFN＝90°•∵DF＝CF　∴AM＝BNABCDFEMN1225•∵AE＝BE　∴ME＝NE•∴EF＝　　MN•∵DF＝AM　CF＝BN•∴MN＝AB－CD•∴EF＝　（AB－CD）ABCDFEMN1226•误点剖析　在证明一个较复杂的题目时，•要理清思路，本例中要证明EF＝　（AB－•CD），只要证MN＝ AB－CD和EF＝　MN， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　而证EF＝　　MN又需证两个条件：∠MFN•＝90°，和MF＝NF，缺少任一条件都会导致错误。

ABCDFEMN1227•评注：本例也可以延长AD、BC，并设它的相交于G，通过先证E、F、G共线后，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明，较繁杂了ABCDEFMN12286、（山东临沂）（山东临沂）△△ABC中，中，BC=a,AC=b,AB=c,若＜若＜C=900,如图（如图（1），根），根据勾股定理，则据勾股定理，则a 2+b 2=c 2若若△△ABC不是直角三角形，如图（不是直角三角形，如图（2），如图），如图（（3），请用类比勾股定理，试猜想），请用类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与与c 2的关系，并证明你的结论的关系，并证明你的结论29祝同学们学习进步更上一层楼！。