第5-6章矩阵对角化习题课PPT课件.ppt

第5-6章习题课一、 基本要求 二、典型例题分析 1第5-6章习题课一、 基本要求 1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 熟 练掌握求特征值和特征向量的方法.2. 理解相似矩阵的概念和性质, 了解相似对角化的条 件, 掌握相似对角化的方法.3. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质, 掌 握实对称矩阵的正交相似对角化方法.2第5-6章习题课4. 理解二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 理解合同矩阵的概念.5. 理解二次型的标准形, 掌握化实二次型为标准形的 正交变换法, 会用配方法化二次型为标准形, 知道 用合同初等变换法.6. 理解实二次型的规范形, 了解惯性定理以及实二次 型的正惯性指数、负惯性指数.3第5-6章习题课7. 了解正定二次型和正定矩阵的概念及性质, 会判别 二次型和矩阵的正定性.8. 知道半正定、负定、半负定、不定二次型以及半 正定、负定、半负定、不定矩阵.4第5-6章习题课(一)特征值和特征向量的概念与性质 二、典型例题分析 证例1 设矩阵 A 的两相异特征值 1和 2 对应的特征向则 由 知量分别是 和 , 证明 不可能是 A 的特征向量. 若 是 A 的对应于特征值 的特征向量,从而 不可能是 A 的特征向量. 因 1 2 , 故 线性相关, 此为矛盾, 5第5-6章习题课例2 设五阶实对称矩阵 A 满足 A2 5 A 6E 0, 且 解 rank(A 2E) 2, 求 A 的所有特征值. 设 是 A 的任一特征值, 则由 A2 5 A 6E 0 知 从而 2 或 3, 又由 A2 5 A 6E 0 得 (A 2E ) (A 3E ) 0, 即 A 的特征值只能是 2 或 3. 于是 6第5-6章习题课而 rank(A 2E) 2, 故 rank(A 3E) 3. 因 A 为实对称矩阵, 故可对角化, 由 rank(A 2E) 2 知 2 的几何重数、代数重数为 3. 因此 A 的所有特征值为 2, 2, 2, 3, 3. 由 rank(A 3E) 3 知 3 的几何重数、代数重数为 2. 即 从而, 每个特征值的代数重数等于其几何重数. 7第5-6章习题课解1: 特征值. 因为 A 为 n 阶正交矩阵, 且| A| 0, 则 | A|1, 又故 | E A| 0, 从而 1 是 A 的一个特征值,的一个特征值为 1.例3 设 A为 n 阶正交矩阵, 且| A| 0, 求 的一个 8第5-6章习题课解2: 因为 A 为 n 阶正交矩阵, 且| A| 0, 则 | A|1, 设则由于 p 0, 因此 21, 从而 1,而| A| 12n 0, 则 1 必是 A 的一个特征值,的一个特征值为 1.9第5-6章习题课解例4 求矩阵 A 的所有特征值, 其中(二) 特征值和特征向量的计算与证明 将矩阵 A 分块, 得 于是 10第5-6章习题课故矩阵 A 的所有特征值为又 11第5-6章习题课解 例5 求 n 阶矩阵 A 的所有特征值和特征向量, 其中任意非零向量都是 A 的特征值 1 对应的特征向量. 若 b 0, 则由 得若 b 0, 则 A E, A 的特征值为 12第5-6章习题课对于 从而 1 对应的所有特征向量为 知方程组 的基础解系为 由 13第5-6章习题课对于 由 则对应的所有特征向量为 知方程组 的基础解系为 14第5-6章习题课例6 已知 A, B为三阶矩阵, A B, 1 1, 2 2 为 A 的两个特征值, 且 B 2, 求 设 3 为 A 的第三个特征值, 则解(三) 矩阵相似的概念与性质 因 A B, 故 A B 2. 15第5-6章习题课于是 并且 16第5-6章习题课解例7 于是 17第5-6章习题课因此 由于 18第5-6章习题课例8 已知 0 是 的特征值, 判断 A 是否可对角化. 解 由于 0 是 A 的特征值, 从而 k 1. (四) 矩阵的对角化 因此 又因 19第5-6章习题课故 0 是 A 的二重特征值, 所以 0 的代数重数为2, 几何重数为1, 因此 A 不可对角化. 而20第5-6章习题课例921第5-6章习题课证即 22第5-6章习题课23第5-6章习题课24第5-6章习题课例10 讨论一个方阵的非零特征值个数与秩的关系.若 n 阶矩阵 A可对角化, 则存在可逆矩阵 P, 使得特征值的个数.解 其中1, 2, , n为 A的特征值, 从而 A 的秩等于其非零 若 A不能对角化, 则 A 的秩不一定为非零特征值的个数.例如 的非零特征值个数为0, 但是 rank A 1. 25第5-6章习题课例11 已知线性方程组有无穷多解,特征向量.(五) 特征值和特征向量的逆问题 为三阶矩阵 A 的特征值 对应的(1) 求矩阵 A;(2) 求26第5-6章习题课解 (1) 由已知条件知线性方程组系数行列式为零, 从而 特征值 对应的特征向量为令 即则 27第5-6章习题课(2) 因为 的特征值为 所以 28第5-6章习题课(1) 求 A;(2) 求 (A + 6E) x 0 的通解;(3) 求正交矩阵 Q, 使 QTAQ 为对角矩阵. 解 (六) 实对称矩阵的正交相似对角化 例12 设 A 为三阶实对称矩阵, 且 |A| 12, tr A 1 . 而 (1, 0, 2)T 是齐次线性方程组 (A 4E) x 0 的一个解向量. (1) 由于 (1, 0, 2)T 是 (A 4E ) x 0 的解, 因此 29第5-6章习题课即 3 3 为 A的特征值, 设 1, 2 为 A 的另外两个特征值, 由题设知设 1, 2 对应的特征向量为 x (x1, x2, x3)T, 对应特征向量为 则有 30第5-6章习题课令则 (2) 因为 A的二重特征值 2 对应的特征向量为 所以 A 的二重特征值 6 对应的特征向量为 从而 是方程组 (A* + 6E) x 0 的基础解系. 于是方程组 (A* + 6E) x 0 的通解 31第5-6章习题课 k1, k2 为任意数. (3) 已正交, 将 单位化: 32第5-6章习题课令 则33第5-6章习题课(七) 实二次型的标准形 例13 已知二次型 xTAx 经正交变换化为 解 由已知条件, A 的特征值为 2, 1, 1, 则 |A| 2, 从而 A* 的特征值为1, 2, 2. 又又知 , 其中 (1,1,1)T, 矩阵 B 满足方程 求二次型 xTBx 的表达式. 即 是 A 的特征值 2 对应的特征向量. 34第5-6章习题课则 B 为对称矩阵, B 的特征值为 2, 1, 1, 且满足假设 B 的特征值 1 对应的特征向量为 因 B 是对称实矩阵, 故 与 正交, 即 解得 35第5-6章习题课令则 从而 因此 36第5-6章习题课(八) 正定矩阵的判断、计算与证明 例14 已知二次型解 二次型的表示矩阵为 由 A正定, 应有 A 的各阶顺序主子式全大于0, 即 正定, 求 k 的取值范围. 37第5-6章习题课例15 设 A为 n 阶正定矩阵, B 为 n 阶实对称矩阵, 证明证 因 A正定, 故有可逆矩阵 M, 使 记 C MTBM, 则 C 为对称实矩阵, 有 n 阶可逆矩阵 P, 使得 PTAP 和 PTBP 同为对角矩阵.使即有正交矩阵 Q, 38第5-6章习题课部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。