《平方根》教材详解.pdf

1 教材详解第十三章实数第一节平方根【教学目标 】1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质．2.会求一个非负数的平方根、算术平方根．3. 会用科学计算器求一个非负数的算术平方根． 【教学重难点 】重点 1.算术平方根的概念及表示方法2. 平方根的概念及其性质难点 ：平方根的概念及其性质 【教学导入】教学导入一 问题 1 解 设正方形纸片的边长为xcm ，依题意有：2x＝25，求出满足2x＝25 的x值，就可得正方形纸片的边长．问题 2 解 设圆的半径为Rcm，依题意有： π2R =16π，即2R =16，求出满足2R＝16 的R的值即可求出圆的半径．教学导入二 情境导入请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 252dm的正方形画布， 画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212 dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 教学导入三 情境导入：问题：要剪出一块面积为25cm的正方形纸片，纸片的边长应是多少？你能用方程表示这个问题吗？试试看．2. 课前热身根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论：（1）这种运算（2x=25）是已知什么？求什么？（2）这种运算与平方运算之间存在怎样的关系？教学导入四创设情景，导入新课复习提问： 1、什么数的平方是49？2、平方得81 的数有几个？分别是什么？3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2 个，并且互为相反数 【知识点】知识点1：平方根的概念及其性质概念： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．这就是说，如果2x＝a，那么 x 叫做 a 的平方根．例： 3 和一 3 是 9 的平方根，简记为土3 是 9 的平方根．2 表示 ：正数a 的平方根可表示为士2a，读作“正负根号a” ，其中“2 '’是根指数，当根指数是2时可省略不写， “”读作“根号”, “a”是被开方数． 例如： 2 的平方根可表示为士2 ．性质 ：( 1 ）一个正数a 有两个平方根， 其中一个是 “a” ，另一个为 “一a” ，它们互为相反数；( 2 ) 0 的平方根是。

；( 3 ）负数没有平方根．温馨提示 ：1.被开方数a 是非负数（非负数即指正数和零），2. 平方与开方是互逆运算关系例 1：求下列各数的平方根．( 1 ) 2)3-(; ( 2 ) 49151；(3） 0 ，（4） 1 分析：根据平方根的意义及性质解答，带分数 49151首先化成假分数 4964（ 1）2)3-（＝9，2)3（＝9，所以2)3-（的平方根是± 3；（ 2）因为 49151＝ 4964，278）（＝ 4964，所以 49151的平方根是± 78（3）因为20=0，所以 0 的平方根是0 （4）因为21）（=1，所以 1 的平方根是± 1. 求一个正数的平方根，就是根据平方根的定义，看这个正数是哪两个互为相反数的数的平方知识点2：算术平方根的概念及表示方法概念 ： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x＝ a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根． a 的算术平方根记为a，读作“根号a ”, a 叫做被开方数．表示方法 ：非负数a 的算术平方根表示为a，读作“根号a” ．例如：24 ＝ 16 , 16 的算术平方根是4 ，表示为了丽16＝4 . 性质： ( l ）正数a 的算术平方根为a；( 2 ) 0 的算术平方根是o ，即0＝0；( 3 ）负数没有算术平方根。

例 2： 求下列个数的算数平方根（1）256 （2）625（3）2240-41分析：根据算术平方根的意义解答即可．解答：（1）因为256162所以 256 的算术平方根是16，即256=16 （2）因为625＝25，又因为25＝25，所以625的算术平方根是5. （3）因为2240-41＝81＝9，又因为23＝9，所以2240-41的算术平方根是3知识点 3 ：平方根与算术平方根的区别与联系1. 区别． ( l ）定义不同；( 2 ）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；( 3 ） 表示方法不同， 正数 a的平方根表示为士a， 正数 a的算术平方根表示为a；( 4 ）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正、一负．2. 联系：( 1） 具有包含关系， 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那一个；(2）存在条件相同，平方根和算术平方根只有非负数才有；3 ( 3 ) 0 的平方根与算术平方根都是0 . 【易错易误点】1、对平方根的定义理解不准确，导致偏差例 1. 下列说法中：①9 的平方根是3; ②2 是 2 的平方根 ; ③ – 2 是16的平方根 . ④±9是9 的平方根；⑤0 的平方根是0 其中正确的是： （）A. ①②③B. ②③④C. ②③④⑤D. ①②③④⑤错解：选择 D。

分析：由于对平方根的定义理解不准确，导致上述的错误怎样才能准确理解平方根的定义？可以这样去理解：如果 x2 =a，那么， x叫做 a的平方根，记作±a由此，我们可以断定如下说法都是正确的：① a 的平方根是±a；②a是a的平方根；③ -a是a的平方根；④±a是a的平方根；其中 a是非负数此外， 0的平方根是 0这个特例要记清楚根据上面的理解，所以，说法①是错误的其余说法都是正确的正解：选择 C2、对平方根的表示法中的“±”理解不准确，导致偏差例2、 “ 2536的平方根是± 56”, 下列各式正确的是（）① 2536=± 56②± 2536=± 56③ 2536= 56④- 2536=- 56A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ①②③④错解：选择 D分析：对于非负数的平方根，在用数学表达式表示时，有三种方式是正确的：①“±，±型”, 即在等号的两边要同时出现“±”这个符号如±9=± 3；②“ +，+型” ，即在等号的两边要同时出现“+”这个符号如+9=+3，或者9=3，③“ “- ， - 型” ，记在等号的两边要同时出现“- ”这个符号，如-9=-3. 也就是说，在用数学表达式表达时，等号两边数的性质符号是一致的，否则，就不正确。

根据这一标准，去判断，① 是错误的其余都是正确的正解：选择 B3、忽视被开方数的意义，导致错误例3、下列运算过程，①-8 是 -64 的平方根 ; ②-64=-(-8)=8；③22222；④±64=±(-8)= ±8 正确的个数： （）(A) 0 个( B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个错解：选择B 或选择C 或选择D 4 分析：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义①②④的被开方数都是-64 ，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；③的被开方数是-22 =-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；所以，上面的说法都是错误，即正确的个数为0. 正解：选择 A4、乱用运算律或者公式，导致偏差例 4、下列运算中，①22810=21028=10-8=2 ；② 9141= 41+ 91= 21+ 31= 65；③ 1251 144251；④- 1691=- 1625=- 45错误的有（）(A) ①②( B) ③④(C) ①②③(D) ②③④错选：选择A 或选择B 或选择D 分析：在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符合公式，还是带分数的形式，在运算时，必须把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数，要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性。

①的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误；②的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；③的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有④严格按照运算的要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的因此，①②③都是错误的正解：选C5、对2a的化简把握不准，导致偏差例 5、下列等式正确的是（） ；A. 64=±8；B. 2)5(=－ 5；C.28=8 D. 16)16(2错解：选择A 或 B 或 D分析： 对于2a型的计算，必须清楚a 的正负性，当 a 是正数时，其结果 a， 即当 a＞ 0 时，2a=a；当 a＜0 时，2a=-a ；当 a=0 时，2a=0；这里也要注意等号两边数的性质符号的一致性根据上面的要求，所以，只有选项C 是正确的当然，同学们也可以先把被开方数进行化简计算，化成最简形式，后开平方5 正解：选择C 6、对算术平方根的定义理解不准，导致错误例 6、计算下列各式并观察：①8100，②81，③81.0，④0081.0，通过上述各式，你能发现什么样的规律，用自己的语言叙述出来错解 ：①8100902，②8192，③81.00. 92， ④0081.00. 092，被开方数每缩小100 倍，其算术平方根的底数就缩小10 倍。

分析： 出现这种错误， 是对算术平方根的数学符号表示法的意义理解不准，导致的 式子a的意义是，求数 a 的算术平方根，再细致的说法就是，求一个数，并且这个数的平方等于a所以，算术平方根是平方幂中的底数明白了这一点，上面的错误就自然克服了正解 ：①810090，②819， ③81.00. 9， ④0081.00. 09 规律：被开方数每缩小100 倍，其算术平方根就缩小10倍7、不会处理系数与底数的关系，导致偏差例 7、求下列 χ的值：425)1(2x错解 ：4（x-1 ）=±25=±5，所以， 4（x-1 ）=5 或者 4（x-1 ）=-5，所以， x= 421，或 x= 411分析：由于没有处理好系数与算术平方根的关系，导致错误这类问题的正确解法是：①等式的两边同时除以平方幂的系数，把系数化成1；②求右边数的平方根；③建立两个等式，分别求出x 的值正解 ：等式的两边同时除以4，得：2)1(x= 425所以， x-1= ± 425=± 25，所以， x-1= 25或者 x-1=- 25，所以， x= 27，或 x= 。