求数列通项公式的十一种方法汇总.docx

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比 数列四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数1 适用于：a = a + f (n)n+1 n一、累加法 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一2 .若 a - a = f (n) (n > 2),n +1 n笃-ai二/⑴a - a 二 f (2)则a - a = f (n)n +1 n两边分别相加得a - a =2 f (n)n+1 1k=1例1已知数列｛a ｝满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列｛a ｝的通项公式。

n n +1 n 1 n解：由 a = a + 2n +1 得 a 一 a = 2n +1 则n +1 n n +1 na = (a — a ) + (a — a ) + • • • + (a — a ) + (a — a ) + an n n—1 n—1 n—2 3 2 2 1 1=[2( n — 1) +1] + [2( n — 2) +1]+…+ (2 x 2 +1) + (2 x 1 +1) +1=2[(n — 1) + (n — 2) + ••• + 2 +1] + (n — 1) +1=2^^ + (n — 1) +12= (n—1)(n+1)+1= n2所以数列｛a ｝的通项公式为a = n2 onn例2已知数列｛a ｝满足a = a + 2x 3n +1, a = 3，求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n解法一：由 a = a + 2 x 3n +1 得 a — a = 2 x 3n +1 贝 yn +1 n n +1 na = (a — a ) + (a — a ) + • • • + (a — a ) + (a — a ) + an n n —1 n—1 n—2 3 2 2 1 1=(2 x 3n-1 +1) + (2 x 3n - 2 +1)+…+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n—1 + 3n -2 + ••• + 32 + 31) + (n — 1) + 3=23(1一3—2 + (n 一 1) + 31 — 3= 3n —3+n—1+3= 3n + n —1所以 a = 3n + n—1.na a 2 1解法二：a = 3a + 2 x 3n + 1 两边除以 3 n+1，得—= n + + n+1 n 3n+1 3n 3 3n+1a a 2 1则一— n = + —3n+1 3n 3 3n+1aa3T = (3Ta a a a—n—1) + ( —n _1 — —n _ 2 ) + ( —n _ 2a a 3n - 2 3n - 2n _1 n _1_(2 1) (2 1 ) (2 1 ) (2 1 ) 33 3/ 3 3n _1 3 3n - / 3 3/ 32( n — 1) J1 1 1 1、1= + ( + + + +•••+ ) +13 3n 3n 3n _1 3n - 2 323n - 2a 2(n _ 1) 3 (1_ 3n _1)因此3：=丄厂)+2 2 X 3n2 则a =c n32 X n X 3n + 1 X 3n _ 1.2 2练习 1. 已知数列1，=a + 2n(n G "*)写出数列b I的通项公式.an +1 n答案： n2 _ n + 1练习 2.已知数 列 ｛an｝ 满足1=a +n_1 n(n _1)(n > 2), 求此数列的 通项 公式 .a答案：裂项求和 n评注：已知ai=aan+1=f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项a①若f(n)是关于n的一次函数, 累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数, 累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。

1nS=—(a+ -a> 0 n2nan且nn)S =2(s —San2nn_1n得例3.已知数列｛an ｝中,S = (a +n 2 n 解:由已知，求数列｛an ｝的通项公式.n+Sn_ S)n_1+n化简有逬—Sn_i=n，由类型⑴有逬=S i2+2+3+S 1 s 2 = n(n±!) > 0 s “皿n+1)又 S1 - h 得 ai - 1 所以 n 2 ，又 an > n 2,2n(n +1) 一 J2n(n 一 1)此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1•适用于：a = f (n) a 这是广义的等比数列n ±1 n十=f (n) an累乘法是最基本的二个方法之二2•若 n±1 = f(n)，则^ = f (1)_3 = f (2)， ana1k=1两边分别相乘得，-^卄=aa1例4已知数列｛a ｝满足ann±1=2(n + 1)5n x a ,na1 = 3 '求数列｛a｝的通项公式解：因为 a = 2(n + 1)5n x a , a = 3 ,n1n±1所以 an则^±1 = 2(n + 1)5n，故 anaa = n—nan 一1a—n~1 • •an—2a a—3 • —2 • a a a 121=[2( n — 1 + 1)5n-1][2( n — 2 + 1)5n - 2] •.…[2(2 + 1)x 52][2(1+1) x 51] x 3=2n—1 [ n( n — 1) 3 x 2] x 5( n—1)+(n 一 2)+ ±2+1 x 3n ( n —1)=3 x 2n—i x 5 2 x n!n (n—1) 所以数列｛a ｝的通项公式为a = 3x 2n—1 x5 2 x n!.nnL ｝ (n + 112 一 na 2 + a a = 0/巾例 5.设 an 是首项为 1 的正项数列，且 n+1 n n+1 n (n =1，2则它的通项公式是an = .(a + a )l(n +1)a — na ]= 0解：已知等式可化为： n+1 n n+1 na——n+1••• an > 0（n e N*）•••（n+1）an+1一 nana n 一 1 n—= an n-1a—-a a11n -1 n - 2 n n - 1aaa =——1 - —n-1 n a an-1 n - 2评注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an .练习•已知an+1二nan +n 一 1 a1 >-1,求数列｛an｝的通项公式.答案：an = （n 一 1）!（a1 + D-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式"n+1二""n +" 一 h转化为an+1 + 1二n（an + D'若令二"n + j则问题进一步转化为^+1二形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于a = qa + f （n）n +1 n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。

1•形如"n+1 二 Can + d，（C 丰 其中"1 = " ）型（1） 若C=1时，数列｛ "n ｝为等差数列；（2） 若d=0时，数列｛"n｝为等比数列；（3） 若C丰1Sd丰0时，数列｛ "n ｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.待定系数法：" +九=c（" + 九）n +1 na = ca + (c — 1)九 a = ca + d, r得 n+1 n ,与题设 n+1 n 比较系数得d d d(—[))_ 力 九 _ ，(c 丰 0) a + _ c(a + 7)(c — 1)A _ d，所以 c — 1 所以有：n c —1 n—1 c —1U 亠 | a+二因此数列I " c — 1J构成以1 c — 1为首项，以c为公比的等比数列,d d d da + _ (a + ) - cn—1 a _ (a + ) - c«-1 —所以 n c —1 1 c —1 即： n 1 c—1 c —1dd_ + d a + = c( a + )dd_ + cn—1 (a + )1 — c 1 c —1规律:将递推关系an+1 _ Can + "化为* C — 1 n C — 1 ,构造成公比为C的等比数列｛a +—｝ ac — 1 从而求得通项公式 +1逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an+1二Can + d中把n换成n-1有an二"n—1 + ,两式相减有an+1 — "n _ "» — "n—P从而化为公比为C的等比数列^n+1 一 "n ｝，进而求得通项公式.an+1 — an _ C" (a2 — a1),再利用类型(1)即可求得通项公式•我们看到此方法比较复杂.例6已知数列｛a ｝中，a _ 1,a _ 2a + 1(n > 2)，求数列｛a ｝的通项公式。

n 1 n n—1 n解法一：••• a 二 2a + 1(n > 2),n n—1a +1 = 2(a +1)n n—1又Ta +1 _ 2,「.｛a +1｝是首项为2,公比为2的等比数列1 n+ 1 = 2n，即 a = 2n — 1n解法二：••• a=2a + 1(n > 2),n —1=2a +1n+1 n两式相减得a -a二2(a -a )(n > 2)，故数列｛a -a ｝是首项为2,公比为2的等n+1 n n n-1 n+1 n比数列，再用累加法的……练习.已知数列｛"n ｝中,a = 2, a1 n +1答案：a = (―) n-1 +1 n 22．形如：a = p - a + qnn +1 n(其中q是常数，且n丰0,1)①若p=1时，即：an+1 = an + qn，累加即可.②若P。