乘法公式知识讲解.docx

乘法公式(提高讲义)【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：(a + b)(a - b)二 a2 - b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方常见的变 式有以下类型：(1) 位置变化：如(a + b)(-b + a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2) 系数变化：如(3x + 5 y )(3 x — 5 y)(3) 指数变化：如(m3 + n2)(m3 -n2)(4) 符号变化：如(—a — b)(a — b)(5) 增项变化：如(m + n + p)(m一n + p)(6) 增因式变化：如(a-b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)重点二、完全平方公式完全平方公式： (a + b 匕=a 2 + 2ab + b 2(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 重点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a2 + b2 = (a + b 匕 一 2ab = (a 一 b 匕 + 2ab(a + b 匕=(a 一 b 匕 + 4ab重点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.重点四、补充公式(x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq ； (a 土b)(a2 :pab + b2) = a3 土b3 ；(a 土 b)3 = a3 土 3a2b + 3ab2 土 b3 ； (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用例 1、计算(2 + 1)(22 +1)( 24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1 )+1.【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2 + 1与2 — 1, 22 +1与22 -1, 24 +1与24 -1等能够构成平方差，只需在前面添上因式(2 — 1),即可利用平方差公式逐步计算【答案与解析】解：原式=(2 — 1)(2+1)( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1 )( 216 + 1 )( 232 +1) +1=(22 — 1 )( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1 )( 216 + 1 )( 232 +1 )+1 =264 —1 + 1= 264 .【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然 后去解决，会事半功倍，提高解题能力.举一反三：【变式1】(2019秋•平山县期末)用简便方法计算：22(1) 1002-200X99+9922(2) 2018X2020-20192【分析】(1)将原式转化为1002-2X100X(100-1) + (100-1)2,再利用完全平方公式进行计算,(2)2018X2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可.22【解答】解：(1) 1002-200X99+99222=1002-2X100X(100-1)+(100-1)22=[100-(100-1)]2 =1 =1；2(2)2018X2020-201922=(2019-1)(2019+1)-201922 2=2019-1-2019=-l.【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键.【变式2】(2019•内江)(1)填空：(a-b) (a+b) = ；(a - b) (a2+ab+b2) = ；(a-b) (a3+a2b+ab2+b3) = .(2) 猜想:(a - b) (an-1+an-2b+・・・+abn-2+bn-1) = (其中 n 为正整数，且 n三2).(3) 利用(2)猜想的结论计算:29 - 28+27 - •••+23 - 22+2.【答案】解：(1) (a-b) (a+b) =a2 - b2；(a - b) (a2+ab+b2) =a3+a2b+ab2 - a2b - ab2 - b3=a3 - b3；(a - b) (a3+a2b+ab2+b3) =a4+a3b+a2b2+ab3 - a3b - a2b2 - ab3 - b4=a4 - b4； 故答案为：a2 - b2, a3 - b3, a4 - b4；(2) 由(1)的规律可得：原式二an - bn,故答案为：an-bn；(3) 29 - 28+27 -—+23 - 22+2= (2 - 1) (28+26+24+22+2) =342.例2、(2019秋•甘井子区期末)数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如 下的探究过程：(1)小明的想法是：将边长为a的正方形右下角剪掉一个边长为b的正方形(如图1),将 剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小 明的想法验证平方差公式.1 \iI□\ ②1E: F①J Ii\\|■\\TbI ,\ iT■ "L—注mi 至2(2)小白的起法是：在边长为a的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b的正方形(如图 2)，再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你 按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式.【考点】平方差公式的几何背景.乘法公式的几何验证方法r %I②©①£11①丨1i1 L_汗J - - - _11Tb一连②*11i1@mi 图2•:①+②的面积=a2-b2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2,.：(a+b)(a-b)二a2-b2.9(2)①+②的面积=(a-b)b=ab-b ,9③+④的面积=(a-b)a=a -ab,•:①+②+③+④=a2-b?;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2,.*.(a+b)(a-b)=a2-b2.【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能 灵活运用公式是解题的关键.举一反三：【变式】(2019秋•南昌期末)如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个 图形. Q ►-ffi1 S2 S3(1)在图2中的阴影部分面积S1可表示为a2-b2a2-b2，在图3中的阴影部分的面积S2可表示 为a2-b2a2-b2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB.2 2 2A. (a+b)二a +2ab+b22 B．a2-b2=(a+b)(a-b)2 2 2C．(a-b)2=a2-2ab+b2(2)根据你得到的等式解决下面的问题：22① 计算：67.52-32.52;② 解方程：(x+2) 2-(x-2) 2=24.【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程(组)及应用；运算能力．【分析】(1)由正方形的面积，可得Si=a2-b2;由长方形的面积，可得Si=(a+b)(a-b)=a2-b2;22所以a -b =(a+b)(a-b);9 9(2)①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100X35=3500;②展开整理，得 8x=24,解得x=3,所以方程的解是x=3.【解答】解：(1)由正方形的面积，可得22S1=a -b ;由长方形的面积，可得Si=(a+b)(a-b)=a2-b2; .*.a2-b2=(a+b)(a-b);故答案为a'-b^aV,选B；22(2)①67.5 -32.5 =(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100X35=3500;②(x+2)2-(x-2)2=24,展开整理，得 8x=24，解得 x=3，.方程的解是 x=3.【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能 灵活运用公式是解题的关键.类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：(1) (a + 2b — 3)2 ； (2) (a + 2b — 3c)(a — 2b + 3c).【思路点拨】(1)是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将 a + 2b-3化成a +(2b-3)，看成a与(2b-3)和的平方再应用公式；(2)是两个三项式相 乘，其中a与a完全相同，2b，—3c与-2b，3c分别互为相反数，与平方差公式特征一致， 可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”.【答案与解析】解：(1)原式=[a + (2b — 3)]2 = a2 + 2a(2b — 3) + (2b — 3)2=a2 + 4ab 一 6a + 4b2 一 12b + 9=a2 + 4b2 + 4ab 一 6a 一 12b + 9 .(2)原式=[a + (2b — 3c)][a — (2b — 3c)] = a2 — (2b — 3c)2 = a2 — 4b2 + 12bc — 9c2.【总结升华】配成公式中的“a ” “b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1) (a-b + c)(a + b-c)； (2)(2x-y + 1)(y -1 + 2x)；(3) (x — y + z)2 ； (4) (2a + 3b —1)(1 — 2a — 3b).【答案】解：(1) (a — b + c )(a + b — c )= [ a — (b — c)][ a + (b — c)]=a 2 — (b — c )z = a 2 — (b 2 — 2bc + c 2)= a2 —b2 +2bc—c2.(2) (2x—y+1)(y—1+2x) =[2x＋(y—1)][2x—(y—1)]=(2x)2—(y—1)2 =4x2—(y2—2y+1)= 4x2 — y2 + 2y —1.(3) (x — y + z)2 =[(x — y)+ z2 = (x — y )z + 2 (x — y ) z + z 2= x2—2xy+y2+2xz—2yz+z2.(4) (2a + 3b 一 1)(1 一 2a 一 3b) = -(2a + 3b -1)2=-[(2 a+3b)2—2(2 a+3b)+12]=—(2a)2 + 2 - 2a - 3b +(3b)2 一 4a 一 6b +1=—4a 2—12ab—9b2+4a+6b—1例4、已知△ ABC的三边长a、b、c满足a2 + b2 + c2 一 ab 一 be 一 ac = 0，试判断厶ABC的形状．【。