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巧算和速算方法TYYGROUP system office room【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-校本课程数学计算方法目录第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法1. 十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾例：12X14=7解：1 X 1 = 12 + 4 = 62X4 = 812X14=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位2 .头相同，尾互补（尾相加等于10）:口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾例：23X27=7解：2+1=32X3 = 63X7=2123X27=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同: 口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾例：37X44=7解：3+1=44X4=167X4=2837X44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位4 .几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾例：21 X41=?解：2X4=82+4=61X1=121X41=8615.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉例：11X23125=?解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11X23125=254375注：和满十要进一。

6.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字， 加下一位数，再向下落例：13X326=?解：13个位是33X3+2=113X2+6=12 3X6=1813X326=4238注：和满十要进一第二讲 常用巧算速算中的思维与方法（1）【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若十个连续数的和例如着名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为1+2 +……+99+100所以，1 + 2 + 3 + 4+ + 99 + 100二 101X100”=5050“3+5+7+ + 97+99二？3+5 + 7 + ……+ 97+99= （99 + 3）X49^2= 2499这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》张丘建利用这 一思路巧妙地解答了 “有女不善织”这一名题：“今有女子不善织，日减功，迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织 几何”题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减 少的数量都相等她第一天织了 5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天问 她一共织了多少布？张丘建在《算经》上给出的解法是：“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

答曰：二匹一丈”这一解法，用现代的算式表达，就是1匹=4丈，1丈=10尺，90尺=9丈=2匹1丈张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都 加起来，算式就是：5 + +1在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一 个相同的数，而这一递减的数不会是个整数若把这个式子反过来，则算式便是： 1+ + 5此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的 数同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子：所以，加得的结果是6X30=180 （尺）但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半所以，这妇女30天织的布是180^2=90（尺）可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的第三讲 常用巧算速算中的思维与方法（2）方法一：分组计算一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出 来例如：求1到10亿这10亿个自然数的数字之和这道题是求“ 10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是1 + 2 + 3 + 4 + 5+6+7 + 8+9+1 + 0+1+1+1 + 2=51显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的怎么办呢？我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果然后，将它们分组： 0 和 999，999，999； 1 和 999，999，998；2 和 999，999，997； 3 和 999，999，996；4 和 999，999，995； 5 和 999，999， 994；依次类推，可知除最后一个数，1, 000, 000, 000以外，其他的自然数与添上的0 共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如 0+9+9+9+9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9=81 1+9+9 + 9 + 9 + 9+9+9+9 + 8=812+9+9 + 9 + 9 + 9+9+9+9 + 7=81最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1所以，此题的计算结 果是（81X500，000，000）+1=40，500，000，000+1=40， 500， 000， 001方法二：由小推大计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。

例如：（1） 计算下面方阵中所有的数的和这是个“100X100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂不妨先化大为小，再由 小推大先观察“5X5”的方阵，如下图（图）所示容易看到，对角线上五个“5”之和为25这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图那样拼接，那么将 会发现，这五个斜行，每行数之和都是25所以，“5X5”方阵的所有数之和为 25X5=125，即 53=125于是，很容易推出大的数阵“100X100”的方阵所有数之和为1003=1，000，0002） 把自然数中的偶数，像图那样排成五列最左边的叫第一列，按从左到右的 顺序，其他叫第二、第三……第五列那么2002出现在哪一列：列数一二三四五246816141210182022243230282634363840 图因为从2到2002，共有偶数2002^2=1001 (个)从前到后，是每8个偶数为一 组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、 三、二、一列(偶数都是按由小到大的顺序)所以，由1001^8=125 1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个故2002应排在第二列。

方法三：凑整巧算用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速例如(1) += (90+10) + (9+1) + ( + ) =111(2) 9 + 97 + 998 + 6= (9+1) + (97 + 3) + (998 + 2)=10+100+1000=1110(3) 125 + 125 + 125 + 125 + 120+125 + 125 + 125=155 + 125 + 125 + 125+(120+5)+125 + 125+125-5=125X8-5=1000-5=995第四讲 常用巧算速算中的思维与方法(3)方法一：巧妙试商除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度1) 用“商五法”试商当除数(两位数)的10倍的一半，与被除数相等(或相近)时，可以直接试商 “5”如 70：14=5，125：25=5当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”无除”指被除 数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半 时，则可直接商“ 5”例如 1248：24=52,2385：45=53(2) 同头无除商八、九同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

无除”仍指被除数前两位不够 除这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9 5742：58=99,4176：48=873) 用“商九法”试商当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数 之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9nWmV10n时，n除m的商才是 9同样地，10nWm+nV11n这就是我们上述做法的根据例如 4508：49=92，6480：72=904) 用差数试商当除数是11、12、13 18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法若 差数是1或2，则初商为9；差数是3或4，则初商为8；差数是5或6，则初商为 7；差数是7或8，则初商是6；差数是9时，则初商为5若不准确，只要调小1 就行了例如1476^18=82(18与14差4，初商为8，经试除，商8正确)；1278^17=75(17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确)为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：差一差二商个九，差三差四八当头；差五差六初商七，差七差八先商六； 差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

方法二：恒等变形恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答例如（1） 1832 + 68=（1832-32） + （68+32）=1800+100=1900（2） （ + ） - （ + ）第五讲 常用巧算速算中的思维与方法（4）方法一：拆数加减在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算1） 拆成两个分数相减例如又如（2） 拆成两个分数相加例如又如方法二：同分子分数加减同分子分数的加减法，有以下的计算规律：分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分 母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数例如（注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母由上面的规律还可以推出，当分子都是1,分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积， :n + 1 u r +1根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

例如方法三：先借后还“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧例如做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了第六讲 常用巧算速算中的思维与方法（5）方法一：个数折半下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数1） 分母相同的所有真分数相加求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2,就能得出结果这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。