圆锥曲线的极坐标方程在解题中的应用.pdf

圆锥曲线的极坐标方程在解题中的应用汕尾职业技术学院!何永金!摘!要“直角坐标系和极坐标系是研究解析几何的两个基本坐标系统!它们从不同的视野描绘了平面内的点集与具 有丰富几何意义的有序数对的对应关系!是矛盾的统一体“ 极坐标给中学数学增添了一道风景!在运用中独树一帜! 用它来解决圆锥曲线的问题有时非常方便“ 本文将介绍相关概念及性质!再举例说明圆锥曲线的极坐标方程在解题 中的应用“ !关键词“极坐标系!圆锥曲线的极坐标方程!极轴的平移!旋转公式!极径一# 基本概念及性质 %一&极坐标系 在平面内取一定点 ? !叫极点!引一条射线 ? ^ !叫做极轴! 再选定一个长度单位和角度的正方向%通常取逆时针方向&!如 图$对于平面内任意一点 $!用 2 表示线段 ? $的长度!3 表示 从 ? ^ 轴到 ? $的角度!2 叫做点 $的极径!3 叫点 $的极角! 有序数对%2!3&叫点 $的极坐标!这样建立的坐标系叫做极坐 标系“ 极坐标为 2#3 的点 $!可表示为 $%2!3&“ %二&圆锥曲线的统一极坐标方程 ##圆锥曲线%椭圆#双曲线#抛物线&可统一定义为$与一个 定点%焦点 #II 第 #D 题$? 是极点!? ^ 是极轴!点 $的坐标是%2!3&!把 ? ^ 绕点 ?旋转角 度 6以后!? ^ 转到 ? ^ u 的位置!对于新的极坐标系!点 $的坐 标记为%2u !3u &!求点 $的新旧坐标的关系“ 如下图$*AW*科技信息高校理科研究!我们易求得点 $的新旧坐标之间的关系为$2 M2u 3 M3u L{6!!%#&!!或2 M2u 3 M3u 9{6!!%“&公式%#&#%“&就叫做旋转公式“ 由推导过程我们可知$在公式中!若 6iD!极轴 ? ^ 沿逆时 针方向旋转!若 6j D!极轴 ? ^ 沿顺时针方向旋转“%“&我们知道圆锥曲线的标准极坐标方程 2 M3 0 # 93 T , J 3!现把圆锥曲线绕极点按顺时针方向分别旋转)*“!* !* “!根据旋转公式!并注意到 T , J %3 L)* “& MJ : -3!T , J %3 L* & M9T , J !J , ^ %3 L* “& M9J : -3!可得它们的极坐标方程分别为 2 M3 0 # 93 J : -3! 2 M3 0 # L3 T , J 3! 2 M3 0 # L3 J : -3“二# 应用举例 %一&极坐标方程的应用 #C 求解曲线的几何量例 ##椭圆的极坐标方程 2 MA ) 9 “T , J 3!那么它的短轴长是%!!&解$短轴长 “_ M “h 2%D&52%* &槡hM “A ) 9 “T , J D5A ) 9 “T , J槡*槡M “A例 “#椭圆的极坐标方程为 2 MA ) 9 “T , J 3!则它的短轴的两个端点的极坐标为%!!&解$“1 Mh 2%D& L2%* & h M I!“T Mh 2%D& 92%* & h M “!由图可知 T , J 3 MT 1M# “’3 M*)所以端点 $%“!* )&!& %“!A* )&“例 )#求椭圆 2 MQ “ 9T , J 3的长轴与短轴之长“解 #$v2 MQ “ 9T , J 3M# “f Q# 9#“T , J 3w3 M#“!0 M Q即T 1M# “1“T{9T M Q’1 M I{T M “’1“9T槡“槡M “)长轴长 “1 M E!短轴长槡“_ M I) 解 “$ 当 3 M D 时! 2 M1 LT ) 当 3 M*时! 2 M1 9Tw1 LT M Q{1 9T M “’1 M I{T M “’_ M1“9T槡“槡M “)故长轴长 “1 M E!短轴长槡“_ M I)““C定值问题 例 ##经过椭圆的焦点 <任意作两条互相垂直的弦 @ (和R Z !求证$# h @ (hL# h R Zh为定值“证明$如图$*QW*科技信息高校理科研究!*XW*科技信息高校理科研究!形成压缩八面体“ 相反!采用后一种排布方式!则会形成拉长八面体“ 图 ) 为八面体压缩或拉长而畸变为四方场时的 4 轨道分裂图“ 由图 ) 可见!由于畸变使原来简便的 32和 .“2轨道进一步分裂!32轨道的分裂能 8#要比 .“2轨道的分裂能 8“大“ 因此4W离子中原来处于 32轨道上的 ) 个电子有 “ 个填充到能量降低# ‘ “8#的轨道!还有一个则进入能量升高 # ‘ “8#的轨道!总的结果为体系获得 # ‘ “8#的稳定化能!这一能量称为姜泰勒稳定化能“ 由图 # 显 示!H -% 7& 对 上 述 反 应!基 本 上 无 催 化 作 用!H -%7&是 4#D结构!电子在 4 轨道上分布对称!不能发生姜泰勒效应!不能与过硫酸根形成稳定的配合物)R V%7& 是 4W结构!电子在 4 轨道上分布不对称!R V%7&结构发生畸变!获得姜泰勒稳定化能!产生姜泰勒效应!体系能量降低!易于与过硫酸根形成较为稳定的过渡态配合物“%1 &拉长八面体) %_&压缩八面体8#M #DDD 9 IDDDT 59 #!8“M #D 9 #DDT 59 # 图 )!八面体压缩或拉长而畸变为四方场时的 4 轨道分裂图“C “C “ 铜离子和硝酸根离子的协同作用!!由图 # 显示!铜离子对过硫酸铵与碘化钾反应具有催化作用!根据研究推测过硝酸根离子通过单电子转移!即克服电子从电子供体向电子受体转移!和在受体中加入一个电子的总能量时!那么电子就会发生单电子的转移反应!这时将形成更加活性的物种!在这个过程中催化剂在结构上发生了从简单到复杂的明显变化!实现与铜离子形成 #$# 的过渡态配合物!降低反应的活化能!加快反应速率!缩短反应时间“) 应用过硫酸铵是制造过硫酸盐和双氧水的原料!主要用做氧化剂高分子聚合的助聚剂!氯乙烯化合物的聚合引发剂!特别是用于乳化聚合和氧化还原聚合!广泛用于金属的清洗缓蚀剂!特别是用于生产线路板铜的蚀刻!还可用于石油开采的压裂剂!纺织物的脱浆剂!苯胺染料的氧化剂等“ 铜离子对这类过硫酸铵作为氧化剂的反应都具有催化作用!在科研和生产中都具有实际的应用价值“参考文献’#(王玉玲C 介质酸度对测定过二硫酸根与碘化钾反应速度的影响’P (C 扬州师院学报自然科学版!#WWQ!#Q)#*&I“ 9 IA’“(曾初升!司云森!余强C 铜离子对硫酸锌溶液中钴返溶的影响及机理’P (C 南方金属!“DDX!#AI &#I 9 #Q’)(耿俊伟等C R V) 7* 离子对多巴色素作用的紫外 9可见光谱研究’P (C 光谱学与光谱分析!“DDI!“I)X*& E)I 9 E)Q’I(刘长林!韩迎春!沈涛等C 铜离子对铜锌超氧化物歧化酶二聚作用的影响’P (C 华中科技大学学报自然科 学版!“DDQ!)I)##*&##Q 9 ##E’A(北京师范大学无机化学教研室等编C 无机化学实验’$(C 北京&高等教育出版社!“DD#C ##X 9 #“#’Q(吴越C 催化化学’$(C 科学出版社!“DDDC ##X 9 ##W’X(申泮文C 无机化学’$(C 化学工业出版社!“DD“C WI 9 WQ’E(尹钦林C 无机化学规则导论’$(C 杭州&浙江大学出版社!“DD“C #DQ 9 #DE参考文献 ’#(人教版C 平面解析几何)必修*C#WWD!#D 第一版!#WWX!# 第九次印刷’“(汪信言C 两类$滑动% 轨迹问题的极坐标解法C 中学数学!#WWI!E’)(戴书铭!陈汶!唐吾C 圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程C 数学通讯!#WWA!“’I(徐祖明C 重视用极坐标方程解题C 中学数学!#WW“!E’A(朱伟卫C 极坐标系中旋转公式的几个应用C 中学数学!#WWE!#“’Q(梁克强C 点 的 极 径 在 圆 锥 曲线中 的运用C 数 学通 讯!#WWA!“*#D#*科技信息高校理科研究!。