三角形内内接正方形边长公式.docx

三角形内内接正方形边长公式三角形内内接正方形边长公式(一)三角形内接正方形 三角形内接正方形 一、概念 三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形必须有两个顶点在同一条边上,即正方形必须有一条边落在三角形的边上. 二、分类 1.在锐角三角形中: (1)假如三角形为等边三角形,那么它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,依据对称性可知, 都是在同一位置). (2)假如三角形为等腰三角形(底与腰不等),那么它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底边上; 另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是一样的); (3)假如三角形为不等边三角形(三边两两不等),那么它的内接正方形有3个. 2.在直角三角形中: 内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上. 3.在钝角三角形中: 内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上. 三、画法 利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形. 方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。

1 方法二： 1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F. 3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形 由此便探究出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不行以做位似中心呢？答案是确定的一共是四种做法 四、教材连接 1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积． 解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I， ∵HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴AI：AD=GH：BC， 正方形EFGH的边长为xcm． ∵BC=27，AD=21， ∴〔21-x〕：21=x：27，即可求解． 点评：此题主要考察正方形的面积、相像三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长． 2. 如图，Rt△ABC〔∠C=90°〕中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜测第三个正方形的边长PQ的长． 解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x， ∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP． 又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ． ∴ FGKP=GKPQ． ∴ 36-x=6x． 解得x=4． 答：第三个正方形的边长为4厘米． 点评：此题利用了平行线的性质，相像三角形的判定和性质求解． 3. 如下图，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积． 解：如图，设矩形的边长EF=x，那么FG=2x， ∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形， ∴EH∥BC，EH=FG， ∴△AEH∽△ABC， 又∵AD⊥BC，那么ID=x，AI=AD-ID， ∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm， ∴ 2x21= 14-x14， 解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=73cm2． 答：矩形EFGH的面积为73cm2． 点评：此题主要考察了矩形的性质和相像三角形的判定与性质，知道相像三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比． 五、中考应用(几何综合题,规律型) 1. 2 2.把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内如下图剪下两个内接正方形M、N，那么M、N的的面积的差是4009平方厘米． 解：正方形M的面积=20cm×20cm=400cm2，设：正方形N的边长为x，那么存在： 2x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32022cm， 故M、N的面积的差为〔400- 32022〕cm2= 4009cm2，故答案为 4009cm2． 点评：此题考察了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考察了正方形四边相等，各内角均为直角的性质，解此题的关键是正方形N的面积的计算． 3.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，假设设正方形的边长为x，简单算出x的长为 60/37．探究与计算： 〔1〕如图2，假设三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，那么正方形的边长为 60/49； 〔2〕如图3，假设三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，那么正方形的边长为 60/61； 〔3〕如图4，假设三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜测正方形的边长是多少？并对你的猜测进展证明． 3 解：〔1〕 6049；〔2分〕 〔2〕 6061；〔2分〕 〔3〕假设三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是 6025+12n． 证明，如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的边长为x， ∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB，即 125-x125=nx5， ∴x= 6025+12n．即小正方形的边长是 6025+12n．〔4分〕 点评：主要考察了正方形，矩形的性质和相像三角形的性质．会利用三角形相像中的相像比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键． 4. 〔2022•湘西州〕如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S1，正方形PMNQ的面积为S2． 〔1〕在图1中，求AD：AB的值；在图2中，求AP：AB的值； 〔2〕比拟S1+S2与S的大小． 4 三角形内内接正方形边长公式(二)三角形内接正方形 课题学习――三角形的内接正方形 探究一 三角形内接正方形的定义 假如一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么，我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形. 如图〔1〕，正方形DEFG是△ABC的内接正方形. 评注：1.正方形有4个顶点，三角形有3条边， 1〕 因此，三角形的内接正方形必有2个顶点在同一条 C 图〔 边上，另2个顶点分别在另2条边上. 2.因为顶点都在边上，所以正方形必在三角形 的内部，而图〔2〕中的正方形，因为顶点F在BC 边的延长线上，所以它不是△ABC的内接正方形. G A D G 探究二 怎样画三角形的内接正方形？ F 图〔2〕 如图〔3〕，在△ABC中，画正方形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点E′、F′在BC上，连结BG′，并延长交AC于G，过G作GD//G′D′、GF// G′F′，分别交AB、BC于D、F，作DE⊥BC，垂足为E. 那么四边形DEFG，就是△ABC的内接正方形.〔请读者 利用相像三角形的学问自行证明〕 评注：以上画三角形的内接正方形的方法叫做位似作图 D法，简称位似法，用位似法亦可画三角形的内接矩形. BC 探究三 一个三角形有几个内接正方形 三角形可分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，下面我们据这样的分类探究一个三角形有几个内接三角形。

在锐角三角形中，如图〔1〕，正方形的一边EF与BC重合，我们还可以将EF与AB或AC重合，因此，锐角三角形有3个内接正方形. 在直角三角形中，如图〔4〕，正方形DEFG的一边与斜边BC重合；正方形AMNK的一边与AB重合，同时另一边与AC重合.，即直角三角形有2个内接正方形. 在钝角三角形中，如图〔5〕，只有1个内接正方形. A G G 图〔4〕 图〔5〕 评注：1.分类探讨是解决此类问题常用的思想方法. 2.正方形是特别的矩形，任何一个三角形都有多数个内接矩形. 探究四 一个直角三角形的两个内接正方形的面积大小有何关系 问题1：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求它的两个内接正方形的面积. 问题2：猜测一个直角三角形的两个内接正方形的面积大小关系，并证明你的结论. 由此可知：在直角三角形中，一边与斜边重合的内接正方形的面积小于两边与直角边重合的内接正方形的面积 评注：〔1〕从特别到一般，是我们探究规律常用的数学思想方法设计问题1的目的是为了从最特别的等腰直角三角形的两种内接正方形面积的计算中发觉它们的大小关系，提出猜测，并赐予证明，从而解决问题2得到了一个一般性结论。

.〔2〕作差法是比拟两个代数式大小的常用方法 探究五 一个锐角三角形的三个内接正方形的面积大小有何关系 设△ABC的三边长分别为a、b、c，各边上的高分别为ha、hb、hc，边落在BC、AC、AB边上的内接正方形的边长分别为xa、xb、xc，为不失一般性，设a＜b＜c，△ABC的面积为S．试说明：△ABC内接正方形的一边落在三角形较短边上时内接正方形的面积最大 〔读者自行完成〕 探究：.假如正方形的一边落在三角形不同边上的内接正方形面积都相等，三角形是不是等边三角形呢？请证明你的结论？ 规律总结 1、作三角形内接正方形最常用的方法是利用三角形相像的原理在作图时把握好两点①找准位似中心②作一个合理的正方形③利用位似来确定正方形的顶点 2、三角形内接正方形的边落在三角形最短边上时面积最大 3 ． 三角形内内接正方形边长公式(三)三角形内接正方形(专题) 三角形内接正方形 一、概念 三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形必须有两个顶点在同一条边上,即正方形必须有一条边落在三角形的边上. 二、个数 分状况探讨: 1.在锐角三角形中: (1)假如三角形为等边三角形,那么它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,依据对称性可知,都是在同一位置). (2)假如三角形为等腰三角形(底与腰不等),那么它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是一样的 ); (3)假如三。