八年级上册课本亮题.doc

八年级上册·课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．11．3 角的平分线的性质NMCABP题目 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等．（人教课本P21例题）分析 如果过点P作三条边的垂线段，用角平分线的性质可得PD = PE，PE = PF，故PD = PE = PF，那么点P到三边AB、BC、DNMECABPFCA的距离相等，如图所示．证明 略．点评 遇到有角的平分线，常常向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或三角形全等，转化解决问题．演变变式1 在原题目的基础上，利用角平分线的性质还可得到：（1）点P在∠BAC的平分线上； （2）∠BPC = 90° +∠A；（3）面积关系：（r = PD，ha表示BC = a边上的高，下同）．变式2 如图，点P是△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等．证明 过点P分别作PD、PE、PF垂直于AB、BC、CA，垂足依次为点D、E、F．PDBFENAMC∵ PB平分∠MBC，PC平分∠NCB，∴ PD = PE，PE = PF，∴ PD = PE = PF．PBNAMC说明 在变式2中，利用角平分线的性质还可证得：点P在∠BAC的平分线上；∠BPC = 90°－∠A．变式3 如图，若点P是△ABC一个内角A和外角∠MBC的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等．证明方法与变式2相同．l3l2l1说明 在变式3中，利用角平分线的性质及外角的性质还可以得到：点P在外角∠BCN的平分线上；∠P =∠ACB．变式4 如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有 处．（人教P27 6题改编）（答案：4）FGOBCDAE变式5 如图，以△ABC的边AB、AC为边长向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，试探索∠AOD与∠AOE的关系．分析 若能说明OA平分∠DOE，则可知∠AOD =∠AOE．由角的平分线的性质知，需要证明点A到BE，CD的距离相等．为此可作AF⊥CD于点，AG⊥BE于G，即证AF = AG，因为易证△ABE≌△ADC，从而由全等三角形的对应高相等，问题得证．变式6 P是△ABC的内角平分线的交点，若P到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积等于 ．（答案：5平方单位）变式7 △ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB = 15 cm，BC = 25 cm，AC = 20 cm，且三角形的面积S△ABC = 150 cm2，那么OD = cm．（答案：2.5 cm）EFABCD*变式8 △ABC中，AC = 7，BC = 24，AB = 25．问△ABC内是否有一点P到各点的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由． （答案：点P存在）变式9 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB = 18，BC = 12．（1）求S△ABD: S△BCD 的值；（表示面积）（2）若S△ABC = 36，求DE的长． （答案：（1）2:3 （2））12．2 作轴对称图形lAB题目 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（人教课本P42探究问题）分析 把管道l近似地看成一条直线，问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小．点评 平面图形上求最短距离有两种情况：（1）若A、B在l的同侧，作对称；（2）若A、B在l的异侧，则直接连结．演变变式1 如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试设计出最短的牧马路线．河草地营地M解 如图所示（实线）．ABCFEM河草地营地MABCFE变式2 如图，E、F为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△MEF的周长最短．解 如图所示，M为所求．变式3 已知，如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上的定点Q，丙站在OB上且可以移动．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处．若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在OB上的何处，使得他们完成接力所用的时间最短？（不写作法，保留作图痕迹）QBOPAQBOPA甲乙丙解 如图所示．*变式4 如图，正方形ABCD的边长为4，M为CD上的点，且ABCDDDMNDM = 1，N为AC上一动点，则DN + MN的最小值为 ．（答案：5）*变式5 已知点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP + NP的最小值是（ ）．A．2 B．1 C． D．（答案：B）*变式6 已知A（5，5），B（2，4），M是x轴上一动点，求使MA + MB最小时的点M的坐标．解 点B关于x轴对称的点的坐标是B′（2，－4）．连接AB′，则AB′ 与x轴的交点即为所求．设AB′ 所在直线的解析式为 y = kx + b，lPQ则 解得 所以直线AB的解析式为 y = 3x－10．当 y = 0时，x =．故所求的点为M（，0）．*变式7 如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，它们到l的距离分别为2千米，5千米．欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　 　）．MlPQlPQMMlPQMlPQA． B． C． D．（答案：A）*变式8 阅读并解答下列问题：（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP + BP的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）．（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1 km，B工厂至河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6 km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．9111119－xxlABCDlAB（答案：（1）略 （2） （3）构造图形，得x = 2－3，y = 3）变式9 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知点A（0，2）关于直线l 的对称点A′ 的坐标为（2，0）．请在图中分别标出点B（5，3）、C（－2，5）关于直线l 的对称点B′、C′ 的位置，然后写出它们的坐标：B′ ，C′ ．运用与拓广：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，可以发现：坐标平面内任意一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′ 的坐标为 （不必证明）．1AA′B′DEOCylx11QAA′B′C′DEOCylxB′D′′1归纳与发现：（3）已知两点D（1，－3），E（－2，－4）．试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．解 （1）如图，B′（3，5）、C′（5，－2）．（2）（b，a）．（3）由（2）得，D（1，－3）关于直线l 的对称点D′ 的坐标为（－3，1），连接D′E交直线l 于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小．设过D′（－3，1），E（－2，－4）的直线的解析式为 y = kx + b，则 解得 k =－5，b =－14，∴ y =－5x－14．由y =－5x－14 和 y = x，解得，故所求Q点的坐标为（，）．12．3 等腰三角形ABCD题目 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求△ABC各角的度数．（人教课本P50例1）解 ∵ AB = AC，BD = BC = AD，∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD．设 ∠A = x，则 ∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，从而 ∠ABC =∠C =∠BDC = 2x．于是在△ABC中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，解得 x = 36°．∴ ∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°．ABCD点评 根据三角形的内角和、外角性质以及角平分线、平行线的性质列出方程，是求角大小的重要方法，充分运用了方程的思想．演变变式1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC = ．（答案：82.5°）AEDCB20°变式2 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAD = 20°，且AE = AD，则 ∠CDE =　　　 　． （答案：10°）2DABC1变式3 如图，D为BC上一点，且AB = AC = BD，则图中∠1与∠2的关系是（ ）．A．∠1 = 2∠2 B．∠1 +∠2 = 180°C．∠1 + 3∠2 = 180° D．3∠1－∠2 = 180°（答案：D）ABCD变式4 如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．解 等腰三角形有：△ABC，△BDC 或 △DAB．证明 在△ABC中，∵ ∠A = 36°，∠C = 72°，∴ ∠ABC = 180°－（72° + 36°）= 72°．∴ ∠C =∠ABC，从而 AB = AC，△ABC是等腰三角形．NMABCD。