四川省眉山市实验中学2023年高二数学理下学期期末试卷含解析.docx

四川省眉山市实验中学2023年高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. －225°化为弧度为　　A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据角度与弧度转化的公式，可直接得出结果.【详解】.故选C【点睛】本题主要考查角度与弧度的转化，熟记公式即可，属于基础题型.2. 已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A．            B．            C．            D． 参考答案：A略3. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(     )A．2 B．3 C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及?=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m，∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==×2×（y1﹣y2）+×y1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．4. 若不等式的解集，则值是（   ）A．0        B．－1        C. 1       D．2参考答案：A5. 等差数列中，已知，试求n的值         参考答案：50略6. 设向量，，则下列结论中正确的是          （    ）（A）                   （B）（C）与垂直             （D）∥参考答案：C略7. 设，若，则下列不等式中正确的是 （      ）   A．     B．   C．   　D. 参考答案：D8. 在平行六面体中，设，则等于（　　）A、          B、               C、              D、参考答案：D略9. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（     ）A. 和       B. 和C. 和       D. 和参考答案：B10. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)A．0.025  B．0.050C．0.950  D．0.975参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为             .参考答案：12. 在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是            .  参考答案：略13. 命题“任意素数都是奇数”的否定为：          __________________．参考答案：存在素数不是奇数略14. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______________.参考答案：415. 设函数，若对于任意的都有成立，则实数a的值为            .参考答案：016. 设，则为            ．参考答案：考点：微积分基本定理． 专题：计算题．分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．解答： 解：=+=﹣cosx+x=．故答案为：．点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．属于基础题．17. 已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n=　    　．参考答案：1【考点】复数相等的充要条件．【分析】化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可．【解答】解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni），化简可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解得n=1，故答案为：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，，，PB⊥面ABCD，，，点M、E分别是PB、PC的中点.(Ⅰ)证明: DE∥面PAB；(Ⅱ)求面PCD与面PBA所成的二面角的正切值；(Ⅲ)若点N是线段CD上任一点，设直线MN与面PBA所成的角为，求的最大值. 参考答案：             ……….4分     ……..4分          --------------7分19. （本题满分12分）已知数列的前n项和（I） 求数列的通项公式,并证明是等差数列； （II）若，求数列的前项和参考答案：（I）当时，…3分当时，适合上式，所以  ----4分因为当时，为定值，所以是等差数列---------------------------6分（II），所以所以 ---------12分20. （本题12分）如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，，为上一点，且，.(1) 求的长；(2) 求二面角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB?cos（∠BAD）=，OB=AB?sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴?=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ= =  21. 已知直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长． 参考答案：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由      得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0①∵k≠0，∴x1＋x2＝ ，又∵x1＋x2＝4，∴＝4，解得k＝－1或k＝2，当k＝－1时，①中Δ＝0，直线与抛物线相切．当k＝2时，x1＋x2＝4，x1x2＝1， |AB|＝==,∴弦AB的长为. 22. 已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．参考答案：考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，由韦达定理求得b=﹣4a﹣4，c=3a，可得f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a．再根据△=16（a+1）2﹣36a2=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．（2）由题意可得＞0，再由a＜0可得 a2+8a+4＞0，由此求得a的范围．解答： 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1，3，故由韦达定理可得﹣=4，=3，∴b=﹣4a﹣4，c=3a，f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a．再根据方程f（x）+6a=0，即ax2﹣4（a+1）x+9a=0有两个相等的实根，∴△=16（a+1）2﹣36a2=0，解得a=﹣，∴f（x）=﹣x2﹣x﹣．（2）由于f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a 的最大值为正数，可得＞0，即 ＜0，再由a＜0可得 a2+8a+4＞0，求得 a＜﹣4﹣2，或﹣4+2＜a＜0，即a的范围是：{a|a＜﹣4﹣2，或﹣4+2＜a＜0 }．点评： 本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。