定义域与值域讲义（教师版）.docx

定义域与值域讲义（教师版） 课 题 函数的定义域与值域 1、 驾驭定义域的求法 教 学 目 的 2、 驾驭复合函数定义域求法 3、 驾驭值域的几种重要求法 重 难 点 1、 定义域 2、 值域 教 学 内 容 【根底学问网络总结与稳固】 一、函数及其表示 设A、B是非空的数集，假如遵照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 留意：假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再留意： 1〕构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全相同，即称这两个函数相等〔或为同一函数〕 2〕两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全相同，而与表示自变量和函数值的字母无关。

一样函数的判定方法：①表达式一样；②定义域相同 (两点必需同时具备) 二、区间的概念及表示法 设a,b是两个实数，且a?b，满意a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满意a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满意a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满意x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)． 留意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必需a?b．1 三、求函数的定义域时，一般遵循以下原那么： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数． ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y?tanx中，x?k???2(k?Z)． ⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零． ⑦假设f(x)是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设确定f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细状况需对字母参数进展分类探讨． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 四、求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的．事实上，假如在函数的值域中存在一个最小〔大〕数，这个数就是函数的最小〔大〕值．因此求函数的最值与值域，其实质是一样的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①视察法：函数的定义域与对应法那么干脆制约着函数的值域，对于一些比拟简洁的函数可干脆通过视察法求得值域. ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范围确定函数的值域或最值．二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域. ③判别式法：假设函数y?f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2?b(y)x?c(y)?0，那么在a(y)?0时，由于x,y为实数，故必需有??b2(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函数的值域或最值．分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分别变量法求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数). 2 ④不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域. 【重难点例题启发】 学问点1 求相关函数的定义域 【例1】 求以下函数的定义域： 1〕 f〔x〕=3x2〔1?x+lg(3x+1)； f〔x〕=2x?x2〔2〕1g(2x?1)+(3-2x)0. ［解答］〔1〕 由题意可得??1?x?0,?1?0,解之得?3x?13

1〕设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域 2) 确定y=f(2x+1)的定义域为[-1，1]，求f(x)的定义域； 4 【举一反三】 确定函数f〔x〕的定义域为????12,1?2??，求函数y?f???x2?x?1?2??的定义域. ［解答］∵-1211??x2-x-1?0,?1?52≤x-x-2≤2??????x?1?5?x2?x?0,??2, ?x?0或x?1,2?所求函数的定义域是??1?5,0??2???1,1?5???2?. ? 学问点2 函数的定义域的应用 【例3】假设函数y?(a2?1)x2?(a?1)x?2a?1的定义域为R，求实数a的取值范围. ［思维引导］ 可先求出访函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进展分类探讨使问题获解. ［解答］由题意知当x∈R时，〔a2-1〕x2+〔a-1〕x2+2a?1≥0恒成立. ① 当a2-1=0，即??a2?1?0,时，得a=1，此时有(a2-1)x2+(a-1)x+222?a?1?0a?1=1.可知当x∈R时，〔a-1〕x2+〔a-1〕x+a?1≥0恒成立. ?a2?1?0,② 当a2-1≠0，即????a2?1,????(a?1)2?4(a2?1)2a?1?0时，有???a2?10a?9?0,解得15 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页。