高中数学 第九讲不定方程-答案.doc

七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 1 页第九讲 不定方程——答案一 引例 求方程的整数解.5834xy解：由，得，5834xy34830 10242(2)62555yyyyxy又∵均为整数，, x y∴也是整数，因此也是整数，62y2(2) 5y∵和互质，25∴是的倍数，于是可设（为整数）2y525ykk∴25yk  将代入原式可得，25yk  108xk∴原方程的整数解为（为整数）10825xkyk   k二 学习重点从引例不难看出是方程的一组解，我们称它为特殊解；102xy  5834xy则把（为整数）叫做不定方程的通解（全部整数解） ；10825xkyk   k5834xy◆求二元一次不定方程（为整数，）的正整数解的一般步骤为：axbyc, ,a b c0ab ①确定方程有无整数解；②求出方程的一个特殊解：；00xxyy ③写出通解或（为整数） （全部的整数解）00xxbkyyak 00xxbkyyak k④通过解不等式组，确定的取值范围，进而求出全部正整数解0000xbkyak k◆常用技巧与方法①通过消元，将问题转化为解不定方程；②把一个未知数当作常数，将其他未知数用七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 2 页这个未知数的代数式表示；③利用整体思想方法求解.三 课堂精讲【例 1】求方程的全部整数解254xy解：显然是的一组解， （也可以通过变形找）72xy 254xy522xy所以原方程的全部整数解为（为整数）7522xkyk k【例 2】求方程的所有正整数解.719213xy解：由于较难观察出原方程的一组特殊解，则可以通过下面的方法去寻找：由，得◆◆◆719213xy213 193530277yyxy因为为整数，故也是整数，显然满足；, x y35 7y2y 当时，2y 50x 所以是原方程的一组解， 因此原方程的整数解为◆252xy 25 1927xkyk 又，所以，解得，则0,0xy50 190270kk 261719k0,1k 所以原方程的正整数解为，.252xy 69xy 【例 3】对于非负整数，满足方程的非负整数的组数记为.n2xyzn( , , )x y zna求（1）的值；（2）求的值.3a2001a解：（1）当时，有，由于，所以3n 23xyz0,0,0xyz01z则或0z 1z ①当时，则，于是可为，有 4 组；0z 3xy( , )x y(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)②当时，则，于是可为，共有 2 组；1z 1xy( , )x y(0,1),(1,0)综上所述，3426a （2）当时，则，则，共有 1001 个值2001n 22001xyz01000zz七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 3 页①当时，，于是可为，共有 2 组；1000z 1xy( , )x y(0,1),(1,0)②当时，，于是共有 4 组；③略；999z 3xy( , )x y…；所以共有 2+4+6+…+2002＝2（1+2+3+…+1001）＝1003002 组( , , )x y z【例 4】某中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共 20 个，总价值约为 330 元，这三种球的价格分别是：足球每个 60 元，篮球每个 30 元，排球每个 10 元，那么其中排球有个.解：设王老师捐赠足球个，篮球个，排球个，则xyz20603010330xyzxyz 消去可得，，显然是它的唯一一组自然数解，所以.z5213xy14xy 15z 【例 5】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆坐 22 人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车；若每辆车的容量不多于 32 人. 问：原先租多少辆客车和学校师生共有多少人？解：设原来租用辆客车，后来每辆车坐人，则xa221(1)xa x 则，显然只有或满足题意（∵23 为质数）221232211xaxx11x 123x 则或 24，又，所以2x 32a 24x 当时，人24x 221529x 四 课堂精练1、若均为正整数，且，，则的值为（ ）, a b2ab210abbA.一切偶数 B.2 或 4 或 6 或 8 C.2 或 4 或 6 D.2 或 4解：因为均为正整数，且，；（或（或，则，则））, a b2ab210ab210ab10bb所以，则，所以，又因为偶数，所以选 D10bb5b 1,2,3,4b b2、方程的整数解有（ ）22(2)(3)1xyA.1 组 B.2 组 C.4 组◆ D.无数组解：由题意可得，或，D2031xy  2130xy  七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 4 页3、若，则是（ ）19980ababA.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数解：由，得，19980ab1998ab 因为 19 互 98 互质，所以，则（为整数） ，98ak 19bkk则；选 B219 980abk 4、若都是正整数，且，则., a b1435002001ab_____ab解：由，得1435002001ab2001 50014271133143143bbab所以，满足为正整数，则.（）2b 7a , a b9ab14.001b5、唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人解：设每营 1001 人时，有营；每营 1002 时，有营；则xy，得（）1001110024xy 100233 10011001yyxy,1x y 所以当时，有最小值，此时998y x100241002 99841000000y6、若正整数满足，则的最小值为 ., x y200415xyxy解：由，得，因为为正整数，且 668 与 5 互质，200415xy6685xy, x y所以，；则（为正整数） ，则的最小值为 673.5xk668yk673xykkxy7、快慢两列火车的长分别是 150 米和 200 米，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是 6 秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是秒.解：设快车速度为，慢车速度为则有/xm s/ ,ym s66150xy所以； 所以秒25xy200()200258xy8、99 名学生去划船，大船每只可乘坐 12 人，小船每只可乘坐 5 人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船应租 只，小船应租 只.◆（应改为解答题）解：设大船租只，小船租只，则有xy12599xy所以，又，且为正整数99 121220255xxyx0,0xy, x y所以，则为 1，2，…，7； 只有时，满足题意，1084xx2,7x 所以应租大船 2 只，小船 15 只；或租大船 7 只，小船 3 只.七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 5 页9、求方程的所有正整数解是 .3213xy解：显然是原方程的一组解，所以原方程的全部整数解为（为整数）32xy 3223xkyk k又；所以，解得，所以0,0xy320230kk 32 23k1,0k  则或.3,2xy1,5xy10、方程的正整数解的个数是（ ）4598xyA.4 B.5 C.6 D.7解：由原方程得，显然是原方程的一组解，98422055xxyx712xy 所以原方程的全部整数解为（为整数） ，又，75124xkyk k0,0xy所以，解得，所以；故选 A.7501240kk 735k1,0,1,2k  11、如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一速度限制标志，而且从 10 千米处开始，每隔 9 千米设一个测速照相标志，刚好在 19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）A.32 千米 B.37 千米 C.55 千米 D.90 千米解：设相隔个 4 千米和相隔个 9 千米后，两种标志会重合；xy则34109xy则，又，所以7912244yyxy0y 1,5,y L显然，当时，出现第二次相遇，此时；5y 13x 3＋4×13＝55 千米，故选 C.12、三元一次方程的非负整数解的个数有（ ）1999xyzA.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999解：显然，①当时，，此时只有一组解；01999z1999z 0xy(0,0,1999)②当时，，此时有两组解；1998z 1xy(0,1,1998),(1,0,1998)七年级竞赛系列第九讲 不定方程 第 6 页③当时，，此时有三组解；1997z 2xy(0,2,1997),(1,1,1997),(2,0,1997)…；则非负整数解共有组解；故选 C.12320002001000 L13、有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，共需 3.15 元；若购甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件，共需 4.20 元，现在购甲、乙、丙各 1 件共需 元.解：设甲货物每件元，乙货物每件元，丙货物每件件，则（以去思考）xyzxyz，①×3－②×2，得373.154104.20xyzxyz 3.15 34.20 21.05xyz 14、有 8 个连续正整数，其和可以表示成 7 个连续正整数的和，但不能表示为 3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 .解：设 8 个连续正整数的最小一个数为，7 个连续正整数的最小一个数为，得ab，即7(1 7)6(1 6)8722ab828721ab则，则（为正整数）817ba7akk又因为其和不能表示为 3 连续整数，所以其和不为 3 的倍数，同理其和被 7 整除；当时，，其和为舍去；1k 7a 78914843 28  L当时，，其和为，2k 14a 14 15 162114020 7L所以这 8 个连续的正整数中最大数的最小值为714721a15、甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各多少本？解：设可买甲种书本，乙种书本，则则；xy3538xy385113233yyxy显然，是原方程的一组解，所以原方程全部的整数解为111xy 11 51 3xkyk  由，得，则 则.11 501 30kk 111 53k2, 1,0k  1161,,147xxxyyy 16、三个不同质数满足，求的值., ,a b c2000abcaabc解。