沪科版八年级上册数学讲义-命题与证明.docx

命题与证明一、命题1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.2、命题分类 真命题：正确的命题 命题 假命题：错误的命题3、命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.4、互逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.每个命题都有逆命题.5、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例. 原命题：如果p，那么q； 逆命题：如果q，那么p. （说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题.）二、公理、定理与证明1、几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理.如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2、正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.三、三角形内角和定理、外角及其推论1、三角形的内角和为180°.2、推论1：直角三角形的两锐角互余.3、三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.4、推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5、推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.【专题解析】1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数.（1）当高AD在△ABC的内部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70º+20º=90º;（2）当高AD在△ABC的外部时，因为∠BAD=70º，∠CAD=20º，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70º-20º=50º.综合（1）、（2）可知∠BAC的度数为90º或50º.2.如图，已知AB∥DE，试求证：∠A+∠ACD+∠D=3600（你有几种证法?）证法一：如图1，过点C作CF∥AB。

∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A+∠1=1800 ∠D+∠2=1800（ 两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠1 +∠2+∠D=3600（等式性质），即∠A+∠ACD+∠D =3600证法二：如图2，过点C作CF∥AB∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A=∠ACF ∠D=∠DCF（ 两直线平行，内错角相等），∵∠ACD +∠ACF+∠DCF=3600（ 周角定义），∴∠A+∠ACD+∠D =3600（ 等式性质） 3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法.小明：在△ABC中，延长BC到D，∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等式的性质）.小虎：在△ABC中，作CD⊥AB，∵CD⊥AB（已知），∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）.∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）.∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）.∴∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.另证：已知：如图10,△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：过点A作EF∥BC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C(两直线平行，内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义)，∴∠B+∠BAC+∠C=180°.4.如图，已知，探究之间的关系，并写出证明过程．．　　证明：如图6，连接．∵（已知），　　∴（两直线平行，同旁内角互补）．　　又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），　　∴，　　∴，也就是，即．【综合提升】一、选择题1、在平面内，下列命题中正确的有（ D ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）两点之间，线段最短 （3）垂线段最短 （4）两点确定一条直线 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、命题“相交的两条直线不一定互相垂直”的条件是（ C ） A、两条直线 B、两条直线垂直 C、两条直线相交 D、它们不一定垂直3、若△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ B ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形或锐角三角形4、如图，在△ABC值，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，CE是∠ACD的平分线，则∠ACE的度数为（ B ） A、60° B、65° C、100° D、135°5、如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠ABC＝140°，∠CDE＝120°，则∠C的度数为（ B ） A、120° B、100° C、140° D、90°6、下图能说明∠1＞∠2的是（ C ）7、如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C.若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为（ D ） A、60° B、75° C、90° D、105°二、填空题8、下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？请在横线上填“是”或“不是”.（1）延长AB至C. ___不是____；（2）这两条直线平行吗？ ___不是______；（3）若x＝2，则1－5x＞0. ____是____；（4）明天可能会下雨. ____不是____；（5）绝对值等于3的数是3. ______是__；（6）两个负数的商是正数. _____是____；（7）在同一平面内的两条直线不相交就平行. ____是____；（8）同角的补角相等. _____是___；（9）画线段AB＝3cm. _____不是___；（10）直角三角形一定不是轴对称图形. ______是___；9、若一个三角形的三个内角之比是6:2:1，则这个三角形中最大内角的外角是___60____度.10、如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF＝__68°____.11、如图，AD∥BC，AB∥CD，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E＋∠F＝___70°_____.12、把“相交成直角的两条直线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式为___________________________________________________________________________.13、如图，∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝∠_____＋∠_____；∠DAC＞∠_____，∠DAC＞∠______.依据是____________________________________________________________________.14、如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝120°，则∠2的度数是___30°_____.三、解答题15、如图，AB⊥BC，AD⊥CD.求证：∠A＋∠C＝180°.16、如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠C=∠ADC，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.17、如图，（1）根据图形说明∠1、∠2、∠A的大小关系；（2）若∠ABD=25°，∠ACE=30°，∠A=80°，求∠1的度数.18、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，EC与DF平行吗？若平行，给出证明；若不平行，请说明理由.8。