习题1与答案.doc
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习题一（排列与组合）1. 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1, 3, 5, 7, 9”五个数字中分别选出1, 2, 3, 4作排列的 方案数；（1） 选1个，即构成1位数，共有g个；（2） 选2个，即构成两位数，共有或个；（3） 选3个，即构成3位数，共有用个；（4） 选4个，即构成4位数，共有《个；由加法法则可知，所求的整数共有：活+厅+度+ ^=205个2. 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1） 每位的数字全不同；（2） 每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：%1 一位数，可从1~9中任取一个，共有9个；%1 两位数十位上的数可从1〜9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9x9 = 81个；%1 三位数百位上的数可从1〜9中选取，剩下的两位数可从.其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有9x%=648个；%1 四位数又可分三种情况：■千位上的数从1〜4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选 3个进行排列，根据乘法法则，共有4x^=2016个；■千位上的数取5,百位上的数从1〜3中选取，剩下的两位数从剩 下的8个数字中选2个进行排列，共有3xg2 = 168个；■千位上的数取5,百位上的数取4,剩下的两位数从剩下的8个数 字中选2个进行排列，共有/>2 =56个；根据加法法则，满足条件的正整数共和9 + 81 + 648 + 2016 + 168 + 56 = 2978个;（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数； 按正整数的位数可分为以下几种情况：设人= {0,1,3,4,5,6,8,9}%1 一位数，可从A-{0}中任取一个，共有7个；%1 两位数。
十位上的数可从A-{0}中选取，个位数上的数可从A中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7x7 = 49个；%1 三位数百位上的数可从A-{0}中选取，剩下的两位数可从A其余7个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有7x^2=294个;%1 四位数又可分三种情况：■ 千位上的数从1, 3, 4中选取，剩下的三位数从A中剩下的7个 数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3x7^=630个；■千位上的数取5,百位上的数从0, 1, 3中选取，剩卜•的两位数从 A中剩下的6个数字中选2个进行排列，共有3X&2 =90个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：7 + 49 + 294 + 630 + 90 = 1070个；3. 一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座， 各有多少种做法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人解：(1)因为就坐是有次序的，所有是排列问题5人坐前排，其坐法数为P(8,5), 4人坐后排，其坐法数为F(8,4),剩下的5个人在其余座位的就坐方式有P(7,5)种，根据乘法原理，就座方式总共有：P(8,5) P(8,4) P(7,5) = 28 449 792 000 (种)(2)因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。
可分成三种情况分别讨论：%1 前排恰好坐6人，入座方式有C(14,6)P(8,6)P(8,8)；%1 前排恰好坐7人，入座方式有C(14,7)P(8,7)F(8,7)；%1 前排恰好坐8人，入座方式有C(14,8)P(8,8)P(8,6)；各类入座方式互相不同，也加法法则，总的入座方式总数为：C(14,6)P(8,6)P(8,8) + C(14,7)P(8,7)P(8,7) + C(14,8)P(8,8)F(8,6)= 10 461394 944 000♦典型错误：先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座 位故总的入坐方式共有：C(14,6)P(8,6)C(8,4)P(8,4)P(6,4)种但这样计算无疑是有重复的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全 坐后排，那么上式中的C(8,4)P(8,4)就有重复4. 一位学者耍在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时， 问共有多少种安排方案？解：用也表示第i天的工作时间，i = l,2,・・・,7，贝IJ问题转化为求不定方程X)+易+工3 +心+工5 +丛+人7 =5的整数解的组数，且耳2 5，于是又可以转 化为求不定方程力+治+为+为+为+丹=15的整数解的组数。
该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数 不限，即相异元素允许重复的组合问题故安排方案共有：RC(oo, 15) = C(15 + 7 -1,15) = 54 264 (种)♦另解：因为允许),,•=(),所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再 加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“ + ”号，每个空放置的 “ + ”号数不限，未放“ + ”号的线段合成一条线段，求放法的总数从而不定 方程的整数解共有：八/也,1 21x20x19x18x17x16 ,RC(oo, 6) = C(16 + 6 — 1,6) = = 54 264 (组)6x5x4x3x2xl即共有54 264种安排方案5. 若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆周就坐有多少种方式？解：12个人围圆周就坐的方式有：CP(12,12) = 11!种，设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为1人，则这 样的就坐方式有：CP(11,11) = 10!种；由于甲乙相邻而坐，可能是“甲乙” 也可能是“乙甲”；所以则满足条件的就坐方式有：11!- 2 x 10! = 32 659 200种。
6. 有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后 卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问 有多少种选法？解：用A、B、C分别代表5名打后卫、8名打前锋、2名可打前锋或后卫的集合, 贝帅分为以下儿种情况：(1) 7个前锋从B中选取，有C：种选法，4个后卫从A中选取，有C；种， 根据乘法法则，这种选取方案有：Cl C；种；(2) 7个前锋从B中选取，从A中选取3名后卫，从C中选1名后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：Cl C； 种；(3) 7个前锋从B中选取，从A中选取2名后卫，C中2名当后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：C； C；种； (4) 从B中选6个前锋，从C中选1个前锋，从A中选4个后卫，根据乘法法则，这种选取方案有：C； C； 种；(5) 从B中选6个前锋，从C中选1个前锋，从A中选3个后卫，C中剩 下的一个当后卫，选取方案有：C； C；仁种；(6) 从B中选5个前锋，C中2个当前锋，从A中选4个后卫，选取方案有：C； 种；根据加法法则，总的方案数为：C； C+c； C； + C： C； C； + C? C； C； + C； C： = 14007. 求(x-y-2z +w)8展开式中x2y2z2w2项的系数。
解：令 a = x,b = -y.c = 一2[,d = w ,则(o + /? + c + d)8 中 a2b2c2z2 项的系数为Q A O | nr |= ：——=—,即(X—y — 2z + H<)8 中，工2(一),)2(一2?)2病的系数,[2222J 2!2!2!2! 2因此，x2y2z2"的系数为：7!/2 (-1)2 (-2)2 =100808. 求(x + y + z)4的展开式解：〃=心=3,展开式共有RC(oo,4) = C(4 + 3-1,4) = 15 (项), 所以,(x + y +1)，=(4 ) <400, 4、 <2 2 0, < 4、 J30/ (4 ) <0 1 3>x4 +4 .<0 4 0;(4<2 0 2；< 4、0047< 4、 gxz3 +4*J 12,< 4、y3z +f 4<031,,0222 2 X z +3 xy +yz3 +r 4、、3顷x3y +2r 4)秋+口 2 b2 xy z4、011)? 24、 <301,=x4 + y4 + / + 4x3y + 4x3z + 4xy3 + 4xz3 + 4yz3 + 4元+ 6x2y2 +6x2z2 +6y2z2 +12x2y^ + 12xv^2 + 12xy2z9. 求(X] +X2 +X3 +X4 +X5) 展开式中 %2X3X4 的系数。
解：的系数为:10 10!\03160厂 3! 1! 6!84010・试证任一整数n可唯一表示成如下形式: n = ! ，＜ ai -浦二1,2，…/>i 证明：(1)可表示性令M = {(⑶⑶_2，・・・，)1^%
乂因为f是定义在两个有限且基数相等的函 数上，因此如果能证明f单射，则f必是满射假设 f 不是单射，贝 II存在（心,• • • a , %）,（如_］, b〃q, • • •, , b［） E M ,,《“-2，• • •, % %） ♦（如 t，如_2，…，b?, K）,且有 KWN ,使得Ko = f （妇，,•••,%,%） = / （如_|，bin_2，…,2，气）由于（%n-l，m-2，…，2，％）>（如一1，如_2 , • • •，b? , b［）,故必存在 j <777-1，使得 不妨设这个j是第一个使之不相等的，即% =bj （i = m-l,・・・，j + l）, •邳j 且〃 •
