高中数学 平面向量的坐标表示.doc

平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示一.明确复习目标1．理解平面向量的坐标概念; 2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示；二．建构知识网络1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成, i jr rar，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作axiy jrrr arar=(x,y)，其中 x 叫作在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标arar(1) 若,则axiy jrrr22||axyr(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2)则,2121(,)ABxx yyuuu r22 2121||()()ABxxyyuuu r表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3) 向量相等坐标相同2.平面向量的坐标运算(1) 若，则2211,,,yxbyxa2121,yyxxba(2) 若=(x,y)，则=(x, y)aa(3) 若，则2211,,,yxbyxa1212a bxxyyr r3. 设则2211,,,yxbyxa向量共线:1221//0abx yx yrr向量垂直:， ba 02121yyxx三、双基题目练练手1.(2006 山东山东)设向量 a=（1,-3） ，b=（-2,4） ，c=（-1,-2） ，若表示向量 4a、4b-2c、2（a- c） 、d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量 d 为 ( ) A.（2,6） B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）2.平面上 A（-2，1） ，B（1，4） ，D（4，-3） ，C 点满足，连 DC 并延长至 E，21AC  CB使||=||，则点 E 坐标为： ( ) CE41 EDA、 （-8，） B、 （） C、 （0，1） D、 （0，1）或（2，35311,38）3113.已知向量 a、b 满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 ( )A.1B.C.D.256剖析：欲求|a+b|，一是设出 a、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算.4.(2005 全国Ⅲ)已知向量，且 A.B.C 三点( ,12),(4,5),(,10),OAkOBOCk uu u ruuu ruuu r共线，则 k= .5.(2005 湖北)．已知向量不超过 5，则 k 的取值范||)., 5(),2 , 2(bakba若围是 6.设=（3，1） ，=（-1，2） ，⊥，∥，O 为坐标原点，则满 OA OB OC OB BC OA足+=的的坐标是＿＿＿＿  OD OA OC OD7.已知向量，,向量与平行,︱︱=4则向量2 , 3ar1 , 1brmrbarr23 mr137的坐标是_____________ mr◆例题答案:1-3.DBD; 3.∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2） ，∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=6. 法 2:利用22||aarr4. ; 5. [－6，2]; 6.（１１，６）. 7.或2 316,44mr16,44 mr四、经典例题做一做【【例例 1】1】平面内给定三个向量，回答下列问题： 1 , 4,2 , 1,2 , 3cba（1）求满足的实数 m,n；cnbma（2）若，求实数 k；abcka2//（3）若满足，且，求dbacd//5cdd解：（1）由题意得 1 , 42 , 12 , 3nm所以，得   2234 nmnm9895nm（2）2 , 52 ,2 ,43abkkcka 1316, 025432kkk（3）设则( , )dx yu r4 , 2,1, 4bayxcd由题意得   5140124422yxyx得或,   13 yx  35 yx(3, 1)(5,3)d u r或◆方法提炼：1.利用平面向量基本定理, 2.利用共线向量定理.【【例例 2】】 （（2006 全国全国ⅡⅡ））已知向量。

sin ,1),(1,cos ),22ab（Ⅰ）若，求；ab（Ⅱ）求的最大值ab解：（Ⅰ）,sincos0ab若则＋＝，得 所以 tan1  ;4 （Ⅱ） 由(sin ,1),(1,cos )ab得22||sin(1 cos )32 2sin()4abrr取最大值，sin()1,4ab当时max,21.4ab即当时◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何 意义，要能熟练解答例例 3】3】已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC 边上的高为 AD，求ABCAD解：设 D(x,y), 则3,,2, 3,1, 2bBCyxBDyxADBCBDBCAD//,Q得  0263301326 yxyx  11 yx所以2 , 1AD【【例例 4】4】如图，设抛物线 y2=2px（p>0）的焦点为 F头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头经过点 F 的直线交抛物线于A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴，证明直线 AC 经过原点 O头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则 C(y2)2p,2p则1122(,),(,)22ppFAxyFBxy ∵ 与共线, ∴  FA FB0y)2px(y)2px(1221即 （*）2211y)2px(y)2px( 代整理得，y1·y2=-p2p2yx,p2yx2 2 22 1 1∵112( ,),(,)2pOAx yOCy  2 1 1212 10222pyppx yyypy∴ 与共线，即 A、O、C 三点共线， OA OC也就是说直线 AC 经过原点 O解法二：设 A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)2p欲证 A、O、C 共线，只需且仅需，即,又OCOAkk2py xy211p2yx2 1 1∴ 只需且仅需 y1y2=-p2，用韦达定理易证明头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头FABCoyx解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。

向量与解析几何的综合是又一命题热点核心步骤:【【研讨研讨.欣赏欣赏】】(2005 上海)在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2),P2(2,22), P3(3,23)……Pn(n,2n)，其中是正整数，对平面上任一点 A0，记 A1为 A0关于点 P1的对n称点，A2为 A1关于点 P2的对称点， ． ． ． ，An为 An-1关于点 Pn的对称点1）求向量的坐标；20AA（2）当点 A0在曲线 C 上移动时，点 A2的轨迹是函数 y=f(x)的图象，其中 f(x)是以3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]时，f(x)=lgx求以曲线 C 为图象的函数在上的4 , 1解析式； （3）对任意偶数 n，用 n 表示向量的坐标nAA0 解.(1)设点 A0(x,y), A0关于点 P1的对称点 A1的坐标为(2-x,4-y),A1为 P2关于点的对称点 A2的坐标为(2+x,4+y),∴={2,4}.20AA(2) ∵={2,4},20AA∴f(x)的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到. 又 x∈(3k,3k+3)时,x-3k∈(0,3), f(x)周期是 3,所以 f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k) 设曲线 C 的函数是 y=g(x),则 g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, [此时 x+2∈(3k,3k+3), 即 x∈3k-2,3k+1),] 是以 3 为周期的周期函数. 当 x∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4. (3) =,nAA0nnAAAAAA24220L由于,得kkkkPPAA2122222=2()nAA0nnPPPPPP14321L=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}2n 3) 12(2n3) 12(4n五．提炼总结以为师1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。

2、两个向量平行的坐标表示 3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合同步练习 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示【选择题】 1.（2004 年天津，理 3）若平面向量 b 与向量 a=（1，－2）的夹角是 180°，且|b|=3，则 b 等于 ( )5A.（－3，6）B.（3，－6） C.（6，－3）D.（－6，3）2.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，且=（0，3） ， OP=（4，0） ，则= （ ） OS RMA、 （） B、 （） C、 （7，4） D、 （）21,2721,27 27,273. （2004 年辽宁，6）已知点 A（－2，0） ，B（3，0） ，动点 P（x，y）满足·PA=x2，则点 P 的轨迹是 ( )PBA.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.（2004 全国Ⅱ）已知平面上直线 l 的方向向量 e=（－，） ，点 O（0，0）和54 53A（1，－2）在 l 上的射影分别是和 A′，则=λe，其中λ等于 ( )OO A。