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2022高考数学重点知识点整理 2022高考数学高分突破精品 “会而不对，对而不全”始终以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用本文结合笔者的多年高三教学经验细心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者细心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的抱负报负 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面 例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽视这种特别情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象 解析：集合a化简得，由知故（ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。

综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个 【知识点归类点拔】（1）在应用条件a∪b＝ｂa∩b＝ａａｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合ａ是空集φ的情况优先进行讨论． （2）在解答集合问题时，要留意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外解题过程中要留意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值範围 将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合a表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合b表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值範围思维马上就可利用两圆的位置关係来解答 此外如不等式的解集等也要留意集合语言的应用 【练1】已知集合、，若，则实数a的取值範围是答案：或 【易错点2】求解函式值域或单调区间易忽视定义域优先的原则 例2、已知,求的取值範围 【易错点分析】此题学生很简单只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函式最值求解，但极易忽视x、y满足这个条件中的两个变数的约束关係而造成定义域範围的扩大。

解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12= +因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=-时，x2+y2有最大值故x2+y2的取值範围是[1, ] 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解 【练2】若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（） （a）（b）（c）（d） 答案：a [, , ] 例3、是r上的奇函式，（1）求a的值（2）求的反函式 【易错点分析】求解已知函式的反函式时，易忽视求解反函式的定义域即原函式的值域而出错 解析：（1）利用（或）求得a=1. （2）由即，设,则由于故，，而所以 【知识点归类点拔】（1）在求解函式的反函式时，肯定要通过确定原函式的值域即反函式的定义域在反函式的解析式后说明（若反函式的定义域为r可省略） （2）应用可省略求反函式的步骤，直接利用原函式求解但应留意其自变数和函式值要互换。

【练3】函式的反函式是（） a、 b、 c、 d、 答案：b 【易错点4】求反函式与反函式值错位 例4、已知函式，函式的影象与的图象关于直线对称，则的解析式为（） a、 b、 c、 d、 【易错点分析】解答本题时易由与互为反函式，而认为的反函式是则==而错选a 解析：由得从而再求的反函式得正确答案：b 【知识点分类点拔】函式与函式并不互为反函式，他只是表示中x用x-1替代后的反函式值这是因为由求反函式的过程来看：设则， 再将x、y互换即得的反函式为，故的反函式不是，因此在今后求解此题问题时肯定要谨慎 【练4】已知函式y=log2x的反函式是y=f-1(x)，则函式y= f-1(1-x)的图象是（） 答案：b [, , ] 例5、判断函式的奇偶性 【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函式为非奇非偶函式的错误结论 解析：由函式的解析式知x满足即函式的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函式为奇函式 【知识点归类点拔】（1）函式的定义域关于原点对称是函式具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函式的奇偶性时肯定要先讨论函式的定义域。

（2）函式具有奇偶性，则是对定义域内x的恆等式经常利用这一点求解函式中字母引数的值 【练5】判断以下函式的奇偶性： ①②③答案：①既是奇函式又是偶函式②非奇非偶函式③非奇非偶函式 【易错点6】易忘原函式和反函式的单调性和奇偶性的关係从而导致解题过程繁锁 例6、函式的反函式为，证明是奇函式且在其定义域上是增函式 【思维分析】可求的表示式，再证明若留意到与具有一样的单调性和奇偶性，只需讨论原函式的单调性和奇偶性即可 解析：，故为奇函式从而为奇函式又令在和上均为增函式且为增函式，故在和上分别为增函式故分别在和上分别为增函式 【知识点归类点拔】对于反函式知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函式必有反函式2）奇函式的反函式也是奇函式且原函式和反函式具有一样的单调性 （3）定义域为非单元素的偶函式不存在反函式4）周期函式不存在反函式（5）原函式的定义域和值域和反函式的定义域和值域到换 【练6】（1）已知 ，则如下结论正确的是（） a、 是奇函式且为增函式b、 是奇函式且为减函式 c、 是偶函式且为增函式d、 是偶函式且为减函式 答案：a （2）设是函式的反函式，则使成立的的取值範围为（）a、 bc、 d、 答案：a （时，单调增函式，所以.） 【易错点7】证明或判断函式的单调性要从定义出发，留意步骤的规範性及树立定义域优先的原则。

例7、试判断函式的单调性并给出证明 【易错点分析】在解答题中证明或判断函式的单调性必须依据函式的性质解答特别留意定义中的的任意性以及函式的单调区间必是函式定义域的子集，要树立定义域优先的意识 解析：由于即函式为奇函式，因此只需判断函式在上的单调性即可设 ， 由于故当时，此时函式在上增函式，同理可证函式在上为减函式 又由于函式为奇函式，故函式在为减函式，在为增函式综上所述：函式在和上分别为增函式，在和上分别为减函式. 【知识归类点拔】（1）函式的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求引数的範围、最值等问题中，应引起足够重视 （2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函式，在上是减函式，这说明增减性的几何意义：增（减）函式的图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零 （3）是一种重要的函式模型，要引起重视并留意应用但留意本题中不能说在上为增函式，在上为减函式,在叙述函式的单调区间时不能在多个单调区间之间新增符号“∪”和“或”， 【练7】（1）（1）用单调性的定义判断函式在上的单调性2）设在的最小值为，求的解析式 答案：（1）函式在为增函式在为减函式。

2） （2）设且为r上的偶函式1）求a的值（2）试判断函式在上的单调性并给出证明 答案：（1）（2）函式在上为增函式（证明略） 【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论 例8、已知函式上是减函式，求a的取值範围 【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在r上递减，但 解析：求函式的导数（1）当时，是减函式，则故解得2）当时，易知此时函式也在r上是减函式 （3）当时，在r上存在一个区间在其上有，所以当时，函式不是减函式，综上，所求a的取值範围是 【知识归类点拔】若函式可导，其导数与函式的单调性的关係现以增函式为例来说明：①与为增函式的关係:能推出为增函式，但反之不肯定 如函式在上单调递增，但，∴是为增函式的充分不必要条件②时，与为增函式的关係:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函式，就肯定有 ∴当时，是为增函式的充分必要条件③与为增函式的关係:为增函式，肯定可以推出，但反之不肯定，因为，即为或 当函式在某个区间内恆有，则为常数，函式不具有单调性。

∴是为增函式的必要不充分条件函式的单调性是函式一条重要性质，也是高中阶段讨论的重点，我们肯定要把握好以上三个关係，用导数判断好函式的单调性 因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避开讨论以上问题，也简化了问题但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理 因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还许多，这需要同学们在学习过程中留意思维的严密性 【练8】（1）函式是是单调函式的充要条件是（） a、 b、 c、 d、 答案：a （2）是否存在这样的k值，使函式在上递减，在上递增？ 答案：提示据题意结合函式的连续性知，但是函式在上递减，在上递增的必要条件，不肯定是充分条件因此由求出k值后要检验 【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变数值是否在定义域限制範围之内 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值 错解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8 【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了根本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,其次次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。