结构力学矩阵位移法资料.pdf

10-6、试求图示连续梁的刚度矩阵 K(忽略轴向变形的影响) EIEI2EI12 3 4 x y O ① ②③ e k解：(1)求单元刚度矩阵 单元①：∵ 代入(10-6)式得： 1112220 1 0 0 0 1uvuvθθ======，，，，， 32 2 126 64 EIEI ll EIEI ll k ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ① 单元②：∵ 且 ∴ 单元③：∵ 单元代入(10-6)式得： (2)各单元的定位向量 e λ 1122120 1u v u vθθ======， 2 E2I l i= 22 22 84 42 2484 EIEI ii ll iiEIEI ll ⎡⎤ ⎢⎥ ⎡⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ② k 1112220 0 0 1 0u v 2 23 46 612 EIEI ll EIEI ll k ⎡⎤ − ⎢⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ ③ uvθθ======，，，， 312 234 λλλ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ === ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ①②③ (3)单元集成过程： 单元 单元刚度矩阵 单元定位向量转换码 集成过程中的阶段结果 ① (1)1→ (2)2→ ② (1)2→ (2)3→ ③ (1)3→ (2)4→ e k (1)(2) 32 2 4 12 (1)1 (2)2 34 3 126 00 64 00 000 000 EIEI ll EIEI ll ↓↓ → → 32 22 (1)(2) 126 (1) 64 (2) EIEI ll EIEI ll ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 0 0 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (1)(2) 1234 32 ∴ (1)(2) 84 (1) 48 (2) EIEI ll EIEI ll ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 2 23 (1) (2) 46 (1) 612 (2) EIEI ll EIEI ll ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎣⎦ 1 2 2 (2)3 4 126 00 6484 0 48 00 0000 EIEI ll EIEIEIEI llll EIEI ll ↓↓ → → (1) ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ + ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (1)(2) 1234 1 32 2 2 (1)3 2 )4 23 126 00 6124 0 4846 0 612 00 EIEI ll EIEIEI lll (2 EIEIEIEI llll EIEI ll ↓↓ → → ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ +− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥− ⎣⎦ 3222 2 2 2223 12612663 000000 612463 01240640 2 412663 004120 61236612 000000 EIEI llllll EIEIEI EIEI lllll k EIEIEIll llll EIEI llllll ⎡⎤ 26 l ⎡⎤⎡ ⎢⎥ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ === ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ −− ⎢⎥ ⎥ − ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎢⎥⎢ −−− ⎥ ⎣⎦⎣⎣⎦⎦ 10-7 、 试 求 图 示 刚 架 的 整 体 刚 度 矩 阵 ( 考 虑 轴 向 变 形 影 响 ) 。

设 各 杆 几 何 尺 寸 相 同 ， 244 5 ,0.5,1 24,3 10.lm amImEMPa==== × x y ①② ③ O 2 3 4 A B C D ①② ③ 1 2 3 0 0 0 ③ (1) (2) (3) (4) (5) (6) ① (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) ② 解：(1)结点位移分量的统一编码(总码) 即刚结点 B 处(1 2 3) (2)单元定位向量 单元① 单元② 单元③ (1)0 (1)1 (1)1 (2)0 (2)2 (2)2 (3)0 (3)3 (3)3 (4)1 (4)0 (4)0 (5)2 (5)0 (5)0 →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ (0 0 0 1 2 3) (1 2 3 0 0 0) (1 2 3 0 0 0) (6)3 (6)0 (6)0 T T T λ λ λ = = = →→→ ① ② ③ (3)单元集成过程 44 300 10 KN/m 25 10 KN/m EAEI ll =×=× ∵ 4 3000030000 0123001230 1003010003050 3000030000 0123001230 03050030100 kkk −⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥===×− ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ −−− ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦ ①②③ ∴ 又∵单元①②： ∴0 , TIα== ? kkkk === ①②①② 010000 100000 001000 000010 000100 000001 ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ =⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 单元③： 90α= ? T 4 1203012030 0300003000 1030010030050 1203012030 0300003000 30050300100 T TT kk −−−⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥==×− ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎢⎥ −⎢⎥ ⎣⎦ ③③ ∴ 按单元①②③的顺序进行单元集成 单元①： (1)1 (2)2 (3)3 (4)(5)(6) 123 4 30000 0123010 030100 → → → ↓↓↓ ⎡⎤ ⎢⎥ −× ⎢⎥ ⎢⎥− ⎣⎦ 单元②： (1)1 (2)2 (3)3 (1)(2)(3) 123 4 3003000000 0012 12303010 030100 → → → ↓↓↓ +++⎡⎤ ⎢⎥ ++−+× ⎢⎥ ⎢⎥− ⎣⎦ 单元③： (1)1 (2)2 (3)3 (1)(2)(3) 123 4 600 120000 00243000010 03000200 100 → → → ↓↓↓ +++⎡⎤ ⎢⎥ +++× ⎢⎥ ⎢⎥−++ ⎣⎦ 4 612030 0324010 300300 k −⎡⎤ ⎢⎥ =× ⎢⎥ ⎢⎥− ⎣⎦ ∴ 提醒：记得加单位。

10-11 试求图示刚架的整体刚度矩阵，结点位移和各杆内力（忽略轴向变形） 10kN A B C D E F EI EI 1.5EI1.5EI 1 2 3 4 56 20kN 2EI 2EI 8m 4m 6m x y O A B D EI EI 1.5EI1.5EI 1 2 3 4 56 ① ② ③ ④ ⑤⑥ 3 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 4 5 4 6 解： （1）考虑终点位移分量的统一编码，忽略轴向变形，节点 E、F、C、D 的竖向位移分 量均为 0； （2）单元定位向量 T 1 0 2 1 0 3λ= ① （） T 1 0 2 4 0 5λ= ② （） T 1 0 3 4 0 6λ= ③ （） T 0 5 4 0 6λ= ④ （4） T 0 5 0 0 0λ= ⑤ （4） T 0 6 0 0 0λ= ⑥ （4） （3）单元集成过程 在①、④中， 2 84 EIEIE l == I ， 4 EAEA l =， 3 123 64 EIE l = I ， 2 63 16 EIE l = I 0000 44 33 00 16642 33 00 16162 0000 44 3333 00 64166416 3 00 16216 EAEA EIEIEI EI EIEIEI EI kk EAEA EIEIEIEI EIEIEI EI ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟− ⎜⎟ ⎜⎟ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ ①④ 0α=，T， I=kk= ①④ 在单元②、③中， 4 EIEI l =， 4 EAEA l =， 3 123 16 EIE l = I ， 2 63 8 EIE l = I 0000 44 3333 00 168168 33 00 88 0000 44 3333 00 168648 00 33 828 EAEA EIEIEIEI EIEIEI EI kk EAEA EIEIEIEI EIEIEIEI ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ −− ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟− ⎜⎟ ⎜⎟ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ −⎜⎟ ⎝⎠ ②③ 2 0 0 90α=，所以 010 1000 001 010 010 001 T ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 333 00 168168 000 44 33 00 88 3333 00 168168 000 44 33 00 828 T EIEIEIEI EAEA EIEIEI EI kkT k T EIEIEIEI EAEA EIEIEIEI ⎛⎞ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − === ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ ③ ②③ 3 0 2 0 单元⑤、⑥ 0 90α= 0000 44 00 124124 00 44 0000 44 00 124124 00 424 EAEA EIEIEIEI EIEIEI EI kk EAEA EIEIEIEI EIEIEIEI ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜−⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ −⎜⎟ ⎝⎠ ⑤⑥ 2 00 124124 000 44 00 44 00 124124 000 44 00 424 T EIEIEIEI EAEA EIEIEI EI kkT k T EIEIEIEI EIEI EIEIEIEI ⎛⎞ −−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − == = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜−⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⑤ ⑤⑥ 0 2 0 按照单元定位向量 e λ，依次将各单元的元素在 K 中定位累加得 K， e k 333333 888888 3131 20 8282 3131 20 8282 3331311 8882488 3111 03 8282 3111 03 8282 KEI ⎛⎞ −−−−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ 10-13. 设图示桁架各杆 E、A 相同，试求各杆轴力，如果撤去任一水平支杆，求解时会出 现什么情况？ l l P F P F l l x y 1 2 3 4 解： （1）单元和结点位移分别统一编码如图。

（2）局部坐标系中得单元刚度矩阵 e k 1010 0000 1010 0000 EA kkkk l −⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ==== ⎜⎟− ⎜⎟ ⎝⎠ ①②③④ 1010 0000 10102 0000 EA kk l −⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ == ⎜⎟− ⎜⎟ ⎝⎠ ⑤⑥ （3）整体坐标系下得单元刚度矩阵； e k 单元①、③的 0 90α= 0100 1000 0001 0010 T ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ 0000 0101 0000 0101 T EA kkT k T l ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ === ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ ① ①③ 单元②、④，， 0 0α= 1010 0000 1010 0000 EA kk l −。