完整版平方根及立方根知识点总结及练习.doc

基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（ 1）平方根的定义： 如果 一个数 x 的平方 等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根． 即：如果x2a ，那么x 叫做a 的平方根．（ 2）开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ，叫做开平方．开平方 运算的 被开方数必须是 非负数 才有意义 3）平方与 开平方互为逆运算 ： 3 的平方等于 9， 9 的平方根是 3（ 4）一个正数 有两个平方根， 即正数 进行开平方 运算有 两个 结果；一个负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算（ 5）符号： 正数 a 的正的平方根 可用a 表示，a 也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根 可用 -a 表示 ．（ 6） x 2a<— >xaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的平方根a 的平方根是 x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果 一个正数 x 的平方 等于 a，即 x2a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记为a ，读作 “根号a”，a 叫做 被开方数．规定： 0 的算术平方根是0.也就是，在等式x 2a(x0)xa。

≥ 中，规定（ 2） a 的结果有 两种情况： 当 a 是完全平方数 时， a 是一个 有限数；当 a 不是一个完全平方数 时， a 是一个 无限不循环小数 3）当被开方数扩大 时，它的 算术平方根 也扩大；当被开方数缩小 时与它的算术平方根也 缩小 一般来说，被开放数扩大（或缩小） a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 倍，例如 错误 ! 未找到引用源 =5，错误 !未找到引用源 =50 4）夹值法 及估计一个（无理）数的大小（ 5） x2a (x ≥ 0) <— >xaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根a 的算术平方根是 x（ 6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零a （ a 0）a 0a2a；注意a 的双重非负性：- a （a <0 ）a0（ 7）平方根 和算术平方根 两者既有区别又有联系：区别在于 正数的平方根有两个 ，而它的 算术平方根只有一个 ；联系在于 正数 的正平方根 就是它的 算术平方根 ，而正数的负平方根 是它的 算术平方根的相反数3、立方根（1）立方根的定义：如果 一个数 x 的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根 （也叫做 三次方根 ），即如果x3a ，那么x 叫做a 的立方根（ 2）一个数a 的立方根， 记作3a ，读作： “三次根号a ”，其中 a 叫被开方数， 3 叫根指数， 不能省略 ，若省略表示平方 。

3） 一个 正数 有一个 正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数 有一个 负的立方根 ；任何数 都有 唯一 的立方根 4）利用 开立方 和立方互为逆运算 关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3 a3 a a0 5） x3a<— >x3 aa 是 x 的立方x 的立方是 ax 是 a 的立方根a 的立方根是 x（ 6） 3a3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（ ）A、 的平方根是± 3 B 、1 的立方根是± 1 C 、 = ± 1 D 、是 5 的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（ ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个实数的立方根不是正数就是负数D．立方根是这个数本身的数共有三个3、 下列说法中：①3 都是 27 的立方根，②3 y3y ，③64 的立方根是2 ，④ 38 24 其中正确的有（）A、 1 个 B、 2 个C、 3 个 D、 4 个4、0.72 的平方根是（）A ． 0.7B． 0.7C． 0.7D． 0.495、下列各组数中，互为相反数的组是（）A 、－ 2 与 ( 2) 2B、－ 2 和 38C、－ 12与 2 D 、︱－ 2︱和 2知识点二：计算类题型1、25 的算术平方根是 _______；平方根是 _____. -27 立方根是 _______.___________ ，___________ ，___________.2、 ( 4) 2； 3 ( 6) 3； ( 196) 2 = .38 =.3、① 2 +32 —5 2②7 ( 1 -7 )7③ | 3 2 | + | 3 2 |- | 2 1 | ④ 3 8 ( 2)2 14、（ 1）327＋( 3)2－31（2）43270130.1253 163464（ 3）知识点三：利用平方根和立方根解方程2（ 2） 4 x2121（ 3）1、（ 1）（ 2x-1 ） -169=0 ；( x 2) 3125知识点四：关于有意义的题a 本身为非负数，有非负性，即a ≥ 0；a 有意义的条件是a≥ 0。

要使1有意义，必须满足a 0.a1、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（）A 、一切数 B 、正数 C、非负数 D、非零数2、要使2x 6 有意义， x 应满足的条件是x13、当 x ________ 时，式子 x2 有意义知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数 a 的平方根是 3x―4 与 2―x，则 a 是多少？2、若 5a＋1 和 a－ 19 是数 m 的平方根，求 m 的值3、已知 x、y 都是实数，且 y x 3 3 x 4 ，求 y x 的平方根知识点六：非负性的应用1、已知实数 x， y 满足 x 2 +(y+1) 2=0，则 x-y 等于解答：根据题意得， x-2=0 ， y+1=0，解得 x=2， y=-1 ，所以， x-y=2- （-1 ） =2+1=3．2、已知 a、b 满足 2a 8 b 3 0 ，解关于 x 的方程 a 2 x b 2 a 13、若 x 1 (3x y 1) 2 0 ，求 5x y2 的值4、若 a、b、 c 满足a3(5 )2c1 0b c的值求代数式ba5、已知 1 3a 和︱ 8b－ 3︱互为相反数，求 (ab)－ 2－27 的值。

重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（ 1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根 （或二次方跟） 如果 ，那么 x 叫做 a 的平方根 3）如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 如果，那么 x 叫做 a 的立方根2、运算名称（ 1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方平方与开平方互为逆运算 2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方和立方互为逆运算3、运算符号（ 1）正数 a 的算术平方根，记作“ a ” 2） a(a≥ 0)的平方根的符号表达为 3）一个数 a 的立方根，用 表示，其中 a 是被开方数， 3 是根指数4、运算公式。