数学分析课本(华师大三版)-习题及答案06.doc

1第六章 微分中值定理及其应用习题§1 拉格朗日定理和函数的单调性1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 ，使 ：0)(f（1） （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1;0,,1sin)(xxf 2、证明：（1）方程 （这里 c 为常数）在区间[0，1] 内不可能有两个3c不同的实根；（2）方程 （n 为正整数，p、q 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实0pxn根；当 n 为奇数时至多有三个实根3、证明定理 6、2 推论 24、证明（1）若函数 f 在[a， b]上可导，且 ，则mxf)(f（b）≥f （a ）+ m（b - a） ；（2）若函数 f 在[a，b]上可导，且 ，则M|)(||f（b）- f （a ）|≤M（b-a） ；（3）对任意实数 ， ，都有 1x2 ||sini| 121xx5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1） ，其中 00hrct26、确定下列函数的单调区间：（1）f（x）= ； （2）f（x）= ；3xxln2（3）f（x）= ； （4）f（x）= 17、应用函数的单调性证明下列不等式：（1） ；)3,0(,tan3x（2） ；2,,six（3） 。

0,)1()1ln(2 xx28、以 s（x）记由（a，f （a） ） ， （b，f（b） ） ， （x，f （x） ）三点组成的三角形面积，试对 s（ x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理9、设 f 为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点 使得),(bacf（c）> 0证明至少存在一点 ，使得 ),(ba0)(f10、设函数 f 在（a，b）内可导，且 单调证明 在（ a，b）内连续f11、设 p（x）为多项式， 为 p（x）=0 的 r 重实根证明 必定是 的 r – 1)(xp重实根12、证明：设 f 为 n 阶可导函数，若方程 f（x）=0 有 n+1 个相异的实根，则方程至少有一个实根0)(xfn13、设 a，b>0证明方程 =0 不存在正根bax314、证明： )2,0(,sint15、证明：若函数 f，g 在区间 [a，b]上可导，且 ，则在)(),(agfxgf（a，b] 内有 f（x）>g（x） §2 柯西中值定理和不定式极限1、试问函数 在区间[-1，1] 上能否应用柯西中值定理得到相应32)(,)(xf的结论，为什么？2、设函数 f 在[a，b]上可导。

证明：存在 ，使得),(ba)]([22fafb3、设函数 f 在点 a 处具有连续的二阶导数)(lim20 afhfffh 4、设 证明存在 ，使得2),(cotscoin5、求下列不定式极限（1） ； （2） ；0limxesn1xx3cosin1lim6（3） ； （4） ；0lixco)(x0lixita3（5） ； （6） ；5sec6tanlim2xx 0limx)1(xe（7） ； （8） ；0lixxsin)(ta x1li（9） ； （10） ；0limxx12)(xlnsilm0（11） ； （12） 0lix)sin(2x0lix21)ta(x6、设函数 f 在点 a 的某个邻域具有二阶导数证明：对充分小的 h，存在，使得 1,2)()()2()( afhfhafff 7、求下列不定式极限：（1） ； （2） ；2sin)1co(lim1xx xxln)rct(lim（3） ； （4） ；xxi0l xx2tan4)(li（5） ； （6） ；0limx x1)n(2( 0limx)1(cotx（7） ； （8） 。

0lixex1)( xartn2li8、设 f（0）=0， 在原点的某邻域内连续，且 证明：f 0)(f1lim)(0xfx9、证明定理 6、6 中 情形时的洛必达法则)(li,gfx10、证明： 为有界函数23)(xef§3 泰勒公式1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：（1）f（x）= ；x1（2）f（x）= arctanx 到含 的项；54（3）f（x）= tanx 到含 的项5x2、按例 4 的方法求下列极限：（1） ； （2） ；0limx3)1(snexx1lnlim2（3） 0lixxcot3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）f（x）= ，在 x = 1 处；5423（2）f（x）= ，在 x = 0 处14、估计下列近似公式的绝对误差：（1） ，当|x|≤ ；6sin321（2） ],0[81xx5、计算：（1）数 e 准确到 ；9（2）lg11 准确到 510§4 函数的极值与最大（小）值1、求下列函数的极值：（1）f（x）= ； （2）f（x）= ；43x21x（3）f（x）= ； （4）f（x）= 。

2)(ln )1ln(arct2x2、设f（x）= .0,,1sin24x（1）证明：x = 0 是极小值点；（2）说明 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件3、证明：若函数 f 在点 处有 ，则 为 f 的极大)0(),(00xff 0x（小）值点4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）y = ；]2,1[5345xx5（2）y = ；2,0tanx（3）y = ),(l5、设 f（x）在区间 I 上连续，并且在 I 上仅有唯一的极值点 证明：若 是 f 的0x0x极大（小）值点，则 必是 f（x）在 I 上的最大（小）值点06、把长为 l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？8、设用某仪器进行测量时，读得 n 次实验数据为 问以怎样的数值 x 表na,21达所要测量的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小9、求一正数 a，使它与其倒数之和最小10、求下列函数的极值：（1）f（x）= ；|)1(|2x（2）f（x）= ；24（3）f（x）= 。

3)1(x11、设 f（x）= 在 处都取得极值，试求 a 与 b；并问这ba2ln2,1x时 f 在 与 是取得极大值还是极小值？1212、在抛物线 哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短pxy213、要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC= a km 的 B 城，轮船运费的单价是 元/km，火车运费的单价是 元/km（ > ） ，试求运河边上的一点 M，修建铁路MB，使总运费最省§5 函数的凸性与拐点1、确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）y = ； （2）y = ；536223xx x1（3）y = ； （4）y = ；1 )ln(2（5）y = 2x2、问 a 和 b 为何值时，点（1，3）为曲线 y = 的拐点？23bxa63、证明：（1）若 f 为凸函数， 为非负实数，则 f 为凸函数；（2）若 f，g 均为凸函数，则 f+g 为凸函数；（3）若 f 为区间 I 上凸函数，g 为 J f（I ）上凸增函数，则 g·f 为 I 上凸函数4、设 f 为区间 I 上严格凸函数证明：若 为 f 的极小值点，则 为 f 在 I 上0x0x唯一的极小值点。

5、应用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数 a，b，有 ；)(21babaee（2）对任何非负实数 a，b，有 barctnrtrctn6、证明：若 f，g 均为区间 I 上凸函数，则 F（x）= max{f（x） ，g（x）} 也是 I 上凸函数7、证明：（1）f 为区间 I 上凸函数的充要条件是对 I 上任意三点 ，恒有321；0)(1321xff（2）f 为严格凸函数的充要条件是 Δ>08、应用詹森不等式证明：（1）设 ，有),2(0niai；naaann  212121（2）设 ，有),(0,ibai，qnipninii ba111 其中 0qp§6 函数图象的讨论按函数作图步骤，作下列函数图象：（1）y = ； （2）y = ；2015623xx 2)1(x（3）y = x – 2arctanx； （4）y = ；e7（5）y = ； （6）y = ；35x2xe（7）y = ； （8）y = 。

2)1( 23)(|总练习题1、证明：若 f（x）在有限开区间（ a，b）内可导，且 ，则至)(limlixffbxax少存在一点 ，使 ),(ba0)(f2、证明：若 x>0，则（1） ，其中 ；)(21x21)(4x（2） lim,4)(li0xx3、设函数 f 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 a·b>0证明存在 ，),(ba使得)()(1fff4、设 f 在[a，b]上三阶可导，证明存在 ，使得,ba)((12)]()[(21)( 3fffabb 5、对 f（x）=ln（1+x ）应用拉格朗日中值定理，试证：对 x≥0 有)1ln(0x6、设 为 n 个正数，且a,21f（x）= xnxa121证明：（1） ；nnxaf210)(lim（2） },{7、求下列极限：（1） ； （2） ；)1ln(/21(lixx 20)1ln(limxex8（3） xxsin1lm208、设 h>0，函数 f 在 内具有 n+2 阶连续导数，且 ，f 在);(haU0)(2afn内的泰勒公式为);(aU。

10,)!1(!)()( 1 nnn hfhafhafhf 证明： 21lim0nh9、设 k>0，试问 k 为何值时，方程 arctanx – kx = 0 存在正实根10、证明：对任一多项式 p（x） ，一定存在 与 ，使 p（x）在（- ∞， ）与（1x2 1x， +∞ ）分别严格单调2x11、讨论函数,01sin2)(xxf（1）在 x=0 点是否可导？（2）是否存在 x=0 的一个邻域，使 f 在该邻域内单调？12、设函数 f 在[a，b]上二阶可导， 证明存在一点 ，0)(bfa),(ba使得)(|)(4|)| 2fbf 13、设函数 f 在[0，a]上具有二阶导数，且 ，f 在（0，a）内取得最大值Mxf|试证aff|)(|)0(|14、设 f 在[0 ，+∞）上可微，且 证明：在[0，+∞）上0)(,fxf（x）≡015、设 f（x）满足 ，其中 g（x）为任一函数证明：)()(fgxff若 ，则 f 在[ ， ]上恒等于 00)(110。